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Envoyé: 14.02.2010, 18:07
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Constellation
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Bonjour , j'ai déjà fais la moitié de l'exercice que je dois faire mais là je suis bloqué , alors j'attend avec impatience et remerciement votre aide :
Donc pour que vous puisiez m'aider je vais déjà vous donner se que j'ai trouvé :
L'objet de cet exercice est d'utiliser une fonction N dérivable sur (0 ; +oo( pour modéliser l'évolution du nombre d'individus d'une population d'animaux dans un milieu donné en fonction du temps t en années . La vitesse d'évolution est donnée par la fonction dérivée N' , en nombre d'individus par an . Le milieu ne peut pas acceuillir plus de 300 individus . Le taux de croissance instantané n'est pas constant , mais est une fonction affine f de N et passe progressivement de +5% pour une population initiale de N=100 individus à 0% pour N=300 individus .
On a: N'=f(N)*N
a)Déterminer f(N) et justifier que N vérifie l'équation différentielle (1):
N'=-(1/4000)N^2 +(3/40)N
Ma réponse :
a*300+b=0 et a*100+b=5/100
donc a*300=-b et 100*a+b=5/100
donc -200*a=5/100 ;
a= -(1/4000) et b=3/40
b)La fonction nulle sur (0 ; +oo( est solution de (1) . On admettra que toute autre solution ne s'annule pas sur (0 ; +oo( . Soit N une telle fonction .
On pose: Z=1/N
i)Exprimer N et N' en fonction de Z et Z'.
Ma réponse :
N c'est evident N=1/Z
N' du coup = -Z'/Z²
ii)Démontrer que N est solution de l'équation différentielle (1) sur (0 ; +oo( si et seulement si Z est une solution qui ne s'annule pas sur (0 ; +oo( de l'équation différentielle (2) : Z' = -(3/40)Z + (1/4000)
c'est z'=1/4000+3/40N
mais comme N=1/z
donc z'=1/4000+3/40*1/z
donc z'=1/4000-3/40z donc on tombe sur celle donnée dans l'énoncé
en faite z=1/N
et z'= -(n'/n^2)
donc z'= -(1/4000) + 3/40N
On trouve :z'= -(1/4000) + 3Z/40
c)Résoudre l'équation différentielle '2) sur (0 ; +oo(
Et la je bloque mon idée c'est la suivante mais je ne suis pas sur :
Z'=-(3/40)Z+1/4000
Donc a=-(3/40) et b=1/4000
Donc l'équation différentielle admet une infinité de solution de la forme :
f(x)= λe^(-(3/40)x) + 1/300
Donc si une telle fonction ne s'annule pas sur (0 ; +oo( elle fournit une solution sur (0 ; +oo( qui est la fonction :
x −>1/(λe^(-(3/40)x) + 1/300)
voila merci de me donner votre avis :) 
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Envoyé: 14.02.2010, 18:31
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Bonjour,
L'ensemble est correct.
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Envoyé: 14.02.2010, 19:37
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Constellation
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Merci de me répondre alors c'est juste ma réponse éventuelle à la question c) ?
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Envoyé: 14.02.2010, 20:27
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Modératrice
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La réponse à la question c) est correcte.
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Envoyé: 15.02.2010, 10:02
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Constellation
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Bonjour , d'accord c'est juste allors merci !
Et pour la prochaine questino je ne suis non plus pas sur donc si vous voulez bien je vous l'expose :
d)En déduire que l'équation (1) admet une unique solution N sur (0 ; +oo( telle que N(0)=100 qui est donnée par :
t appartient à (0 ; +oo( N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)
Coyez vous que l'on doit remplacer t par 100 et que ca donnerait :
N(0)=(300)/(1+2e^(100)) ? Merci à l'avence de votre réponse !
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Envoyé: 15.02.2010, 10:07
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Pourquoi remplacer t par 100, c'est N(0), soit t = ....
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Envoyé: 15.02.2010, 10:14
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Constellation
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Alors il faudrait remplacer t par 0 ?
N(0)=(300)/(1+2e^(0))
donc ca donnerait : N(o)=100
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Envoyé: 15.02.2010, 10:28
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Tu dois trouver l'expression indiquée à partir de : x −>1/(λe^(-(3/40)x) + 1/300)
en prenant N(0) = 100
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Envoyé: 15.02.2010, 11:21
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Constellation
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je vienx d'essayer mais je ne trouve pas 
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Envoyé: 15.02.2010, 11:24
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Donne l'expression de N(0).
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Envoyé: 15.02.2010, 11:27
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Constellation
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à partir de N(t) je dois donner l'expression de N(0) ?
N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)
N(0)=(300)/(1+2e^(-(3/40)100)
N(0)=(300)/(1+2e^(-(3/40))
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Envoyé: 15.02.2010, 11:34
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Tu dois partir de
N(t) = 1/(λe^(-(3/40)t) + 1/300)
Exprime N(0)
puis utilise N(0) = 100 pour trouver λ.
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Envoyé: 15.02.2010, 11:43
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Constellation
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D'accord donc j'ai fais ca :
N(t) = 1/(λe^(-(3/40)t) + 1/300)
N(0)=1/(λe^(-(3/40)*0) + 1/300)
N(0) = 1/(λ + 1/300)
et après pour trouver λ faut que j'utilise N(0)=100:
N(0)=1/(λe^(-(3/40)*100) + 1/300)
N(0)=1/(λe^(-(3/40)) + 1/300)
Mais j'arrive pas à trouver λ
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Envoyé: 15.02.2010, 11:49
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Modératrice
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Résous :
1/(λ + 1/300) = 100
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Envoyé: 15.02.2010, 11:59
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Constellation
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donc :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔1/λ + 1/(1/300) = 100
⇔1/λ = 100 - (1/(1/300))
⇔1/λ=-200
⇔λ=-(1/200)
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Envoyé: 15.02.2010, 12:09
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Constellation
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T'es sur jenni672 ? C'est juste Noemi ?
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Envoyé: 15.02.2010, 12:13
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Constellation
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Quoi j'ai rien compris la , tu te parle à toi méme jenni672 ou tu t'es trompé de nom ...? Je suis pas sur si c'est juste ta réponse
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Envoyé: 15.02.2010, 12:15
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Constellation
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Dsl yan je voulais dire je suis pas sur , attent la réponse de Noemi !
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Envoyé: 15.02.2010, 12:34
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Modératrice
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L'implication :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔1/λ + 1/(1/300) = 100
est fausse
1/(λ + 1/300) = 100
⇔ λ + 1/300 = 1/100
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Envoyé: 15.02.2010, 13:01
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Constellation
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donc c'était faux la réponse de jenni672 mais c'est pas grave tu m'a quand méme aidé jenni672 !
Donc si c'est :
1/(λ + 1/300) = 100
⇔ λ + 1/300 = 1/100
Alors en reprenant le calcul :
λ =(1/100)-(1/300)
mais ca me donne une valeur aprochée qui est λ ≈0.007≈7*10^(-3)
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Envoyé: 15.02.2010, 13:11
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Modératrice
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Réduis au même dénominateur et détermine la valeur exacte.
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Envoyé: 15.02.2010, 13:18
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Constellation
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Alors si je réduis au méme dénominateur ca fait :
λ =(1/100)-(1/300)
⇔λ=(3/300)-(1/300)
⇔λ=2/300 Voila
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Envoyé: 15.02.2010, 13:22
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Modératrice
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C'est juste.
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Envoyé: 15.02.2010, 13:31
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Constellation
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D'accord :) merci :
pour la question e)Dresser le tableau de variation de la fonction N avec sa limite en +oo sans justifier . Interpréter .
pour la fonction N c'est laquelle c'est :
N(t)=(300)/(1+2e^(-(3/40)t)
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Envoyé: 15.02.2010, 13:37
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C'est cette fonction.
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Envoyé: 15.02.2010, 13:53
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Constellation
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Mais je comprends pas quand je veux afficher la courbe ca fait pas ?!
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Envoyé: 15.02.2010, 13:59
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Modératrice
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Tu dois modifier les éléments de la fenêtre de la calculatrice.
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Envoyé: 15.02.2010, 14:01
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Constellation
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quels éléments ?
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Envoyé: 15.02.2010, 14:03
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Modératrice
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Quel type de calculatrice as-tu ?
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Envoyé: 15.02.2010, 14:12
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Constellation
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une TI 83 plus , mais on peut aussi entrer la courbe sur un grapheur de l'ordinateur mais ca marche non plus pas
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Envoyé: 15.02.2010, 14:19
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Modératrice
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Sur la calculatrice à Window
Xmin : -1
Xmax : 80
Ymin : -1
Ymax 70
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Envoyé: 15.02.2010, 14:26
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Constellation
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Non toujours rien et sur geogebra tu sais comment faire ?
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Envoyé: 15.02.2010, 14:35
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Modératrice
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Vérifie la programmation de ta fonction.
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Envoyé: 15.02.2010, 15:08
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Constellation
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Non je sais vrément pas !!! :(
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Envoyé: 15.02.2010, 15:18
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Modératrice
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Je me suis trompé de fonction :
Sur la calculatrice à Window
Xmin : -1
Xmax : 100
Ymin : -1
Ymax : 350
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Envoyé: 15.02.2010, 15:20
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Constellation
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ha c'est bon  c'est une courbe croissante qui se stabilise à 300!
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Envoyé: 15.02.2010, 15:53
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Constellation
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Donc : tableau de variation :
t -oo 95 +oo
N(t) fléche croissante 0 fléche croissante
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Envoyé: 15.02.2010, 16:03
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L'étude est pour x variant de 0 à +∞ ?
donc x 0 + ∞ ; pourquoi ce 95 ?
Donc fonction croissante de ...... à .....
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Envoyé: 15.02.2010, 16:12
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dernière visite: 07.06.10
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ha oui c'est vrai 95 car la fonction s'annule à 95 on le voit graphiquement la fonction est ccroissante de 0 à +oo
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Envoyé: 15.02.2010, 16:23
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dernière visite: 08.02.12
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La fonction ne peut pas s'annuler à 95 puisqu'elle est croissante et que N(0) = 100.
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