Calcul de l'intégrale d'une fonction

bonjour, j'aurais besoin d'aide sur cet exo.

f est la fonction définie sur [-2;2] par f(x)=E(x²) où E désigne la fonction partie entière.

1)montrer que f est une fonction paire

tracer f dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, sur l'intervalle [0;2]
calculer $∫02f(x),dx\int_{0}^{2} {f(x)} ,\text{d}{x}$ et en déduire $∫−22f(x),dx\int_{-2}^{2} {f(x)} ,\text{d}{x}$

c'est la 1ère fois que je vois ce type de fonction donc j'aurais bien voulu qu'on m'explique. merci

Bonsoir sil2b

une définition
Tout réel peut être encadré par deux entiers relatifs consécutifs de la manière suivante :

Pour tout réel x, il existe un entier relatif n tel que n ≤ x < n+1.
L'entier n (le plus petit de ces deux entiers consécutifs), est appelé la partie entière de x et est noté E(x).

ok.

f(-x)=E((-x)²)=E(x²)=f(x) donc f est paire

Oui,

N'oublie pas la première condition,
si x appartient a Df, -x appartient à Df.

Noemi
Oui,

N'oublie pas la première condition,
si x appartient a Df, -x appartient à Df.

ok, comment doit on faire pour tracer cette courbe sur une calculette ?

As tu la fonction partie entière sur la calculatrice ?

Noemi
As tu la fonction partie entière sur la calculatrice ?

je sais pas du tout. j'ai une ti-82 stats.fr

Cherche la fonction "iPart(".

Noemi
Cherche la fonction "iPart(".

je vois pas, c'est une touche ?

Non

Fonction MATH puis NUM

Noemi
Non

Fonction MATH puis NUM

a oui, sur la mienne c'est partEnt.

une fois qu'il y a partEnt qui s'affiche, j'écrit directement x² ?

Ecris y = partEnt(x²)
puis touche GRAPH

Noemi
Ecris y = partEnt(x²)
puis touche GRAPH

ok. j'ai la courbe

et pour la tracer sur une feuille ? c'est compliqué ?

Pour la tracer sur une feuille, tu décomposes
x appartient à [0;1[, f(x) = 0
si x appartient à [1;√2[, f(x) = ...
Si x appartient à [√2; ....

à compléter

Bonne nuit

Noemi
Pour la tracer sur une feuille, tu décomposes
x appartient à [0;1[, f(x) = 0
si x appartient à [1;√2[, f(x) = ...
Si x appartient à [√2; ....

à compléter

Bonne nuit

ok merci bonne nuit

bonjour,

j'ai regardé un peu, mais pk on doit décomposer ainsi pour tracer la courbe ? après je ne sais pas comment faire vu que c'est la 1ère fois que je vois cette fonction

Bonjour,

C'est à partir de la définition de partie entière.

trace la fonction f(x) = E(x)

Noemi
Bonjour,

C'est à partir de la définition de partie entière.

trace la fonction f(x) = E(x)

d'après la calculette, pour x appartient [0;1[ y=0 pour x appartient [1;1,4141] y=1 pour x appartient [1,4142;1,73] y=2 pour x appartient [1,74;2[ y=3 et pour x=2 y=4

C'est correct
Les valeurs exactes sont des racines carrées.

ok.

[0;1[ : y=0
[1;√2[ : f(x)=1
[√2;√3[ : y=2
[√3;2[ : y=3

après c'est [2;2√2[ : y=4
?

Non,
après √4 = 2, tu as √5
Pour la fonction l'intervalle d'étude à pour borne 2,
donc la dernière valeur est :
si x = 2, f(2) = y = 4.

Noemi
Non,
après √4 = 2, tu as √5
Pour la fonction l'intervalle d'étude à pour borne 2,
donc la dernière valeur est :
si x = 2, f(2) = y = 4.

ok.

et pour l'intégrale, comment on calcule la primitive ?

Pour l'intégrale, tu utilises la relation :
$∫xyf(x)dx=∫xzf(x)dx+∫zyf(x)dx\int_{x}^{y}{f(x)dx}=\int_{x}^z{f(x)dx}{}+\int_{z}^y{f(x)dx}{}$

Noemi
Pour l'intégrale, tu utilises la relation :
$∫xyf(x)dx=∫xzf(x)dx+∫zyf(x)dx\int_{x}^{y}{f(x)dx}=\int_{x}^z{f(x)dx}{}+\int_{z}^y{f(x)dx}{}$

x,y et z représentent quoi comme valeur ?

x, y, z , ;.. représente les valeurs de x
0 ; 1 ; √2; .....

L'intégrale correspond à un calcul d'aires. Tu calcules la somme de aire des différents rectangles.

Noemi
x, y, z , ;.. représente les valeurs de x
0 ; 1 ; √2; .....

L'intégrale correspond à un calcul d'aires. Tu calcules la somme de aire des différents rectangles.

j'ai additionner l'aire des 3 rectangles, je trouve 1,854

La réponse est juste mais c'est une valeur approchée.
Quel est le résultat exact, avec les racines carrées ?

$∫02f(x),dx=∫01f(x),dx+∫1√2f(x),dx+∫√2√3f(x),dx+∫√32f(x),dx\int_{0}^{2} {f(x)} ,\text{d}{x} = \int_{0}^{1} {f(x)} ,\text{d}{x} + \int_{1}^{√2} {f(x)} ,\text{d}{x} + \int_{√2}^{√3} {f(x)} ,\text{d}{x} + \int_{√3}^{2} {f(x)} ,\text{d}{x}$ = 0+(√2 - 1)+2(√3-√2)+3(2-√3)=5-√2-√3

Le résultat est juste.

Noemi
Le résultat est juste.

et c'est ok pour la présentation des intégrales? (à la place de ? c'est √ )

Oui, c'est juste.
Tu déduis le résultat pour l'autre intégrale en utilisant la parité.

c'est égal au double ?

Exact, c'est le double.

Noemi
Exact, c'est le double.

comment on fait pour démontrer ?

C'est une propriété pour les fonctions paires :
$∫−aaf(t)dt=2∫0af(t)dt\int_{-a}^{a}{f(t)dt}=2\int_{0}^{a}{f(t)dt}$

Noemi
C'est une propriété pour les fonctions paires :
$∫−aaf(t)dt=2∫0af(t)dt\int_{-a}^{a}{f(t)dt}=2\int_{0}^{a}{f(t)dt}$

sil2b
Noemi
C'est une propriété pour les fonctions paires :
$∫−aaf(t)dt=2∫0af(t)dt\int_{-a}^{a}{f(t)dt}=2\int_{0}^{a}{f(t)dt}$

ok merci Noemi

autre chose, il faut mettre l'unité, en cm² ?

L'intégrale s'exprime en unité d'aire.
Pour obtenir l'aire en cm² correspondant à ton graphique,
une unité d'aire correspond à 4 cm² puisque l'unité du graphique correspond à 2 cm.

Noemi
L'intégrale s'exprime en unité d'aire.
Pour obtenir l'aire en cm² correspondant à ton graphique,
une unité d'aire correspond à 4 cm² puisque l'unité du graphique correspond à 2 cm.

ok. merci. j'ai un autre exercice que je suis en train de faire et je suis bloqué. je vais le poster

D'accord.