Les Suites ( inégalités , récurrences ! , ....)


  • L

    Bonjour tout le monde !
    J'ai quelques difficultés pour résoudre ses quelques exercices , Si vous pouviez m'apporter votre contribution , ce serait avec grand plaisir ! Merci ! 🆔
    Voici les deux énoncés du livre de Mathématiques :
    Exercices 2.1
    Posons U1= 1/4 ; U2= "1 X 3 / 4 (au carré) . 2 " et pour tout entier
    n ≥ 3 , Un = ( 1 X 3 X .... X (2n-1) ) / 4 n^nn . n!

    -> Démontrer l'inégalité "Un+1 / Un"< 1/2 . En déduire la limite de la suite (Un)

    Exercice 2.2
    Pour tout entier n ≥ 1 , posons Un= racine 1+ racine 2 + ... + racine de n .
    -> Montrer par récurrence que l'on a Un ≥ n racine de " n/2" pour tout entier n ≥ 1 . En déduire la limite de n/ Un .
    Posons Un=U2n -Un .
    -> Démontrer l'inégalité n racine de "n+1" < Un < n racine de "2N" . En déduire la limite de Un/n et la limite de Un/ N ( au carré )

    Pour ses deux exercices , J'ai seulement une vague idée pour la question 3 : pour démontrer l'inégalité :
    -> Si l'on a n+1 < a < 2n, alors racine de "n+1" < racine de "a "< racine de "2" ??

    Dans l'attente de vous relire :lettre:
    En vous remerciant pour vos contributions :we: 😉

    *Ci-joint le scan de exercice 2.1 et 2.2 . *

    http://img192.imageshack.us/img192/5924/numrisation0001z.jpg


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Pour l'inégalité, exprime le rapport Un+1U_{n+1}Un+1/ UnU_nUn en fonction de n.


  • L

    Merci pour le 2.1 . J'ai trouvé !
    → Pour la limite de la suite (Un) , J'ai mis que la limite de la fonction tend vers 0 car q < ½ ?

    Pour le 2.2 .
    Question a)
    → Un > n racine de (n/2 )
    Alors Un+1 = racine de « n+1 » = racine de « 1 »
    Un+1 > n racine de « n/2 » + racine de « n+1 » …. 😕

    Je bloque , Je ne sais pas si même ce que j'ai effectué est bon ? J'ai beaucoup de difficultés dans le raisonnement par récurrence , Sortant de ES , on le voit très peu dans nos résolutions .
    Du coup la limite ? 😕

    Question b)
    → - n racine de « n+1 » < Un < n racine de « 2n »
    n racine de « (n+1)+1 < U2n+1 – Un+1 < n racine de « (2n) +1 »....
    Je suis en train de refaire un raisonnement par récurrence , mais je doute que ce soit utile ? Donc , je ne sais pas comment le démontré …
    La limite est-ce bien : Un – n ? 😕

    Si vous pouvez m'aider , Merci beaucoup
    Je vous en remercie par avance
    Merci à ceux qui m'ont dejà bien aidé :rolling_eyes:


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