quotient de l'anneau Z[j] par un idéal

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	quotient de l'anneau Z[j] par un idéal

mathtous	Envoyé: 07.02.2010, 11:01
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonjour, Trois questions ( liées ) me taraudent depuis quelque temps. Pourrez-vous m’aider ? Je commence par fixer le contexte : Z[j] est l’anneau constitué des éléments de la forme a+bj où a et b sont des entiers relatifs et où j est une racine cubique complexe de 1 : traditionnellement , j = (-1+i√3)/2 n est un entier relatif non inversible ( on ne change rien à la généralité du problème si on suppose n > 2). Soit (n) = n.Z[j] l’idéal engendré par n dans Z[j] Voici mes questions : 1) Est-il exact que (n) ∩ Z = n.Z ? 2) Les éléments de l’anneau quotient Z[j]/(n) sont-ils exactement les éléments de la forme x+yj où x et y sont des éléments de Z/nZ ? 3) Pour cette dernière question j’ai vraiment un doute : l’écriture Z[j]/nZ a-t-elle un sens et si oui lequel ? Merci d’avance . modifié par : mathtous, 07 Fév 2010 - 15:42 Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.


jaybee	Envoyé: 18.02.2010, 00:32
Une étoile enregistré depuis: févr.. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 21.02.10	bonsoir, pour répondre à tes questions, d'abord, quelle est la forme des éléments de (n)? on a $z\in (n) \Leftrightarrow z=n(a+jb)$ donc $z\in (n)\cap\mathbb{Z}\Leftrightarrow z=n\lambda+n\mu j \text{ et }z\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow z=n\lambda\text{ et }\mu=0\Leftrightarrow z\in n\mathbb{Z}$ pour la question 2, tu sais que $\mathbb{Z}[j]=\mathbb{Z}[X]/(X^2+X+1)$ et tu dis que tu peux faire le passage au quotient dans le sens que tu veux ainsi: $\mathbb{Z}[j]/(n)=\mathbb{Z}[X]/(X^2+X+1,n)=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]/(X^2+X+1)=(Z/nZ)[j]$ pour la question 3, l'ecriture Z[j]/nZ n'a pas de sens (en tout cas pour moi) car écrire A/I (où A est un anneau et I un idéal de A) est un abus d'écriture: on devrait mettre A/R où R est la relation d'équivalence définie par $\forall x,y \in A\,\,xRy\Leftrightarrow x-y\in I$ (c'est la relation d'équivalence standard que l'on prend pour le quotient d'un anneau par un ideal afin d'obtenir un anneau) mais si tu mets Z[j]/nZ, tu ne peux pas définir cette relation d'équivalence puisque nZ n'est pas un idéal de Z[j] mais, comme je l'ai mis dans la question 2, tu peux écrire (Z/nZ)[j] puisque là, ça a bien un sens!

mathtous	Envoyé: 18.02.2010, 11:53
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonjour, Merci pour tes réponses : elles confortent ce que je pensais. Mais pourquoi refuses-tu l'écriture A/I ? C'est pourtant bien ce que tu écris : Z[X]/(X²+X+1) par exemple, où (X²+X+1) est l'idéal engendré par X²+X+1. En tout cas merci et bonne journée. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

jaybee	Envoyé: 18.02.2010, 12:08
Une étoile enregistré depuis: févr.. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 21.02.10	bonjour, je ne refuse pas l'écriture A/I, je dis juste que la définition c'est A/R ou R est une relation d'équivalence définie sur A c'est un abus d'ecriture mais c'est pas grave on en fait plein comme dire que Z est inclu dans Q au lieu de dire que Z s'injecte dans Q personne n'y fait attention et c'est normal parceque ça simplifie les choses de les faire je dis aussi qu'il faut que I soit un idéal de A pour avoir une structure d'anneau sur le quotient sinon tu as autre chose (un peu comme quand tu quotiente un groupe par un sous groupe non distingué) donc finalement a bien y réfléchir, Z[i]/nZ a peut être bien un sens mais a priori ce n'est pas un anneau on pourrait peut-être voir ça comme l'ensemble des a+jb où a est dans Z/nZ et b dans Z... bonne journée

mathtous	Envoyé: 18.02.2010, 12:23
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Citation je dis aussi qu'il faut que I soit un idéal de A pour avoir une structure d'anneau sur le quotient sinon tu as autre chose (un peu comme quand tu quotiente un groupe par un sous groupe non distingué) Tout à fait d'accord. Mais si on quotiente un groupe par un sous-groupe non distingué, on obtient des classes à droite et des classes à gauche ? Mis à part le fait que ce sont des classes d'équivalence, ont-elles une structure particulière ? A ce propos, peux-tu jeter un coup d'oeil sur ce lien : Congruences Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

jaybee	Envoyé: 20.02.2010, 20:42
Une étoile enregistré depuis: févr.. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 21.02.10	bonsoir, je sais pas du tout si on a une structure particulière ... ici, si tu oublies la multiplication de Z[j], tu as un Z module et $n\mathbb{Z}$ est un sous-Z-module de Z[j] et le quotient est aussi un Z-module. Mais après, si tu gardes la multiplication sur Z[j], $n\mathbb{Z}$ n'est pas une sous algèbre de Z[j] et je sais pas trop ce qui se passe modifié par : jaybee, 20 Fév 2010 - 20:43

mathtous	Envoyé: 21.02.2010, 11:14
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6308 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	En bref, ni anneau ( si la structure initiale est celle d'un anneau ) , ni groupe ( si la structure initiale est un groupe ). Merci beaucoup. Bonne journée. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.