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Envoyé: 01.02.2010, 12:39
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Voie lactée
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Bonjour, voici l'énoncé qui me pose problème:
Dans le plan muni d'un repère, on considère l'hyperbole H d'équation y=(1/x) et le point A(2;1/2).
On s'intéresse au nombre de points d'intersection de la courbe H avec une droite delta passant par A et non parallèle à l'axe des ordonnées.
a) Vérifier que si delta est parallèle à l'axe des abscisses alors A est l'unique point d'intersection de H et delta
b) Dans la suite de l'exercice, on suppose que delta n'est pas parallèle à l'axe des abscisses
1)Montrer que delta a une équation de la forme y=mx+(1-(4m/2)) où m est un réel non nul fixé
2)Résoudre dans R 1/x = mx+(1-(4m/2))
3) En déduire l'ensemble des valeurs non nulles de m pour lesquelles la droite delta coupe la courbe H en deux points distincts
4) Montrer que si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts,alors delta est la tangente à H en A.
Je bloque à la première question.
J'ai voulu résoudre le système suivant:
y=m
1/2 = 2m+p
J'arrive à 1/2 = 2y+p=2/x +p
x = 4/(1-2p)
mais là je bloque.Pouvez-vous me donner des pistes?Merci.
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Envoyé: 01.02.2010, 20:52
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Modératrice
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Bonsoir,
Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, alors y = constante
comme la droite passe par le point A, alors y = ....
donc x = ....
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Envoyé: 02.02.2010, 09:54
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Voie lactée
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Bonjour Noemi.
Merci de ta réponse.
Donc si la droite passe par le point A,elle est de la forme y=mx+p.
Comme y=m (m constante), alors m=mx+p
m-mx=p
x(m-1)=p
x=p/(m-1)
Est-ce cela?car je ne vois pas comment cela répond à la question.
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Envoyé: 02.02.2010, 21:44
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Modératrice
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m-mx=p
soit mx = ....
tu n'as pas tenu compte du fait que la droite passe par le point A, donc y = ....
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Envoyé: 03.02.2010, 09:33
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Voie lactée
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m-mx=p
-mx=p-m
mx=m-p
si la droite passe par A,alors y=2m+p
c'est cela?
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Envoyé: 03.02.2010, 20:38
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Modératrice
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Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par A, alors y = yA
comme yA = 1/2, y = 1/2
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Envoyé: 04.02.2010, 09:12
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Voie lactée
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Dans ce cas,si je continue,y=yA=1/2
1/2=1/x donc x=2
cela suffit à répondre à la question?
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Envoyé: 04.02.2010, 09:18
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Modératrice
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Oui,
Tu indiques qu'il y a que le point A solution.
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Envoyé: 04.02.2010, 10:03
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Voie lactée
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Merci
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Envoyé: 17.02.2010, 15:59
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Voie lactée
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J'ai fait la suite.
J'ai trouvé -1/2 et 2m comme solutions de l'équation.
Je n'ai pas du tout d'idée pour la dernière question. Pouvez-vous m'aider?Merci.
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Envoyé: 17.02.2010, 17:06
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Modératrice
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Bonjour,
Indique tes calculs pour la résolution de l'équation.
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Envoyé: 17.02.2010, 17:33
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Voie lactée
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Pas de problème.
(1/x)=mx+(1-4m)/2 équivaut à
((2mx²-2+(1-4m)*x)/2x=0
(2mx²-2+x-4mx)/2x=0
pour tout x≠0,
2mx²-2+x-4mx=0
2mx²+(-4m+1)x-2=0
delta=(-4m+1)²-4*2m*-2=16m²+8m+1=(4m+1)²
x1=(-(-4m+1)-(4m+1))/4=-2/4=-1/2
x2=(-(-4m+1)+(4m+1))/4=8m/4=2m
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Envoyé: 17.02.2010, 17:42
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Une erreur à la fin le 2a = 4m et non 4.
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Envoyé: 17.02.2010, 18:03
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Voie lactée
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Ah oui merci!dans ce cas,les solutions sont (-1/2m) et 4.
Donc une fois que l'on a résolu l'équation, on répond à la question 3/ en disant que la droite delta coupe la droite H en 2 points (-1/2m) et 4 avec m≠0.C'est cela?
Peux-tu me donner un coup de pouce pour que je puisse répondre à la dernière question?Merci
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Envoyé: 20.02.2010, 12:01
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Voie lactée
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Personne pour m'aider à terminer?
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Envoyé: 20.02.2010, 14:26
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Modératrice
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Pourquoi cette réponse : x = 4 ?
Question 3) analyse le signe de delta.
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Envoyé: 20.02.2010, 23:29
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Voie lactée
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Excuse-moi,je me suis trompée,c'est x=2 que j'ai trouvé.
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Envoyé: 20.02.2010, 23:35
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Voie lactée
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Pour la question 3,le discriminant est positif,il y a donc 2 solutions c'est-à-dire 2 points distincts.Cela suffit-il?
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Envoyé: 21.02.2010, 07:25
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Modératrice
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Le discriminant comporte le paramètre m.
Il faut discuter selon les valeurs de m.
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Envoyé: 01.03.2010, 12:58
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Voie lactée
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Je ne comprends pas pourquoi il faut discuter selon les valeurs de m car le discriminant est égal à (4m+1)² donc peu importe la valeur de m,le discriminant sera toujours positif,non?
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Envoyé: 01.03.2010, 16:46
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Cosmos
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Bonjour mperthuisot,
Le discriminant sera toujours positif ... ou nul.
Pour que la droite delta coupe la courbe H en deux points distincts, il faut exclure la valeur de m qui annule le discriminant (solution unique donc un seul point d'intersection).
C'est justement cette valeur précise de m qu'il faudra considérer dans la question 4.
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Envoyé: 02.03.2010, 12:49
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Voie lactée
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Merci Iron, c'est vrai que j'avais oublié le cas pour lequel le discriminant est nul. Je n'ai pas réfléchi 
Le discriminant est donc positif et admet donc 2 points distincts pour x≠-1/4.Cela répond bien à la question 3/?
Et pour la question 4/, si x=1/4 alors le discriminant est nul.Donc la droite delta coupe la H en un point distinct,alors la solution est:
(-(-4m+1))/(2*2m)=(4m-1)/4m
et pour montrer que delta est la tangente à H,on calcule la limite de la solution en +∞,c'est cela?
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Envoyé: 02.03.2010, 18:01
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Cosmos
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Non.
4) Si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors d’après 3) m = -1/4
connaissant m, tout devient plus simple.
Pour m = -1/4 alors l’équation de delta est y = . . . (en utilisant la question 1)
Parallèlement, on détermine l’équation de la tangente T à H au point d’abscisse a=2, en utilisant par ex la formule y = h’(2) ( x – 2) + h(2)
... et on montre qu’elle correspond bien à notre droite delta.
bonne soirée.
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Envoyé: 02.03.2010, 18:03
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Cosmos
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h(x) étant la fonction inverse bien sûr, h(x) = 1/x
Je l'ai appelé h car on nomme H sa représentation graphique dans cet exo.
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Envoyé: 03.03.2010, 18:20
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Voie lactée
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Merci,j'ai trouvé.
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