Exercice mêlant repérage polaire et orthormé + sinus et cosinus

Bonjour,

j'ai un exercice de devoir maison et j'obtiens des résultats étranges qui m'empêchent de continuer... Pourriez-vous me dire si je procède de la bonne façon ?
Voici l'énoncé: On considère le repère orthonormé (O, $i⃗,j⃗)\vec{i}, \vec{j})$
et I le point de coordonnées I(1;0).

1/ a) Placer le point A de coordonnées polaires (1; $π\pi$ /6)
→ J'ai construit mon repère avec 2cm pour 1. Pour placer A, j'ai utilisé mon compas et mon rapporteur trigonométrique.

b)Déterminer la nature du quadrilatère OASI. En déduire la mesure de l'angle $(oi⃗;os⃗)(\vec{oi} ;\vec{os} )$ .
→ Pour prouver que OASI est un parallélogramme j'ai utilisé le fait que $os⃗=oi⃗+oa⃗\vec{os} = \vec{oi} + \vec{oa}$ et que \vec{OS} = \vec{OA} + \vec{AS} pour conclure que $oi⃗=as⃗\vec{oi} = \vec{as}$ .
Ensuite, pour calculer l'angle $(oi⃗;os⃗)(\vec{oi} ;\vec{os} )$ , j'ai rappelé qu'un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux donc [OS] et [AI] sse coupent en leur milieu O' (j'ai inventé ce point), et [OO'] et S sont alignés. Donc $(oi⃗;os⃗)=(oi⃗;oa⃗)/2=(π/6)/2=(π/6)∗(1/2)=π/12(\vec{oi}; \vec{os})=(\vec{oi}; \vec{oa})/2=(\pi /6)/2=(\pi /6)*(1/2)= \pi /12$ . N'est-ce pas trop confus ?

2/ Construire le point S tel que $os⃗=oi⃗+oa⃗\vec{os} = \vec{oi} + \vec{oa}$
→ J'ai construit S avec mon compas en construisant le parallélogramme OASI.

3/ a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de A, puis de S.
→ Calcul des coordonnées cartésiennes de A: A(1; $π\pi$ /6) donc r(rayon polaire)=1 et $θ\theta$ (angle polaire)= $π\pi$ /6. Or, cos $θ\theta$ =x/r donc x=cos $θ\theta$ 1=√3/2 et sin $θ\theta$ =y/r donc y=sin $π\pi$ /61=1/2 D'où: A a pour coordonnées cartésiennes A(√3/2;1/2)
Calcul des coordonnées cartésiennes de S: Je sais que A et S sont alignés dans le repère car ASOI est un parallélogramme, donc A et S ont même ordonnée: A(√3/2;1/2) et S(x;1/2). Or, on sait que AS=OI car OASI est un parallélogramme donc AS=OI=1. AS=√((x-√3/2)²+(1/2-1/2)²) soit 1=√(x²-x√3+3/4) Ensuite je mets les deux termes au carré, ce qui équivaut à 1= x² - x√3+ 3/4, en passant le 1 de l'autre côté, cela donne x² - x√3 - 1/4 = 0. Je résouds ce trinôme en calculant $δ\delta$ = b² - 4ac = 4, j'en déduis les solutions x1 et x2:
x1= (-b-√ $δ\delta$ )/2a = √3 + 1.
X2= (-b +√ $δ\delta$ )/2a = -√3/2 + 1 -> Déjà, ici, je sais que c'est x1 la vraie solution mais je ne sais pas justifier que x2 est une solution impossible..

b)En déduire les valeurs de cos( $π/12)\pi /12)$ et sin( $π/12)\pi /12)$ .
→ c'est là que ça commence à se compliquer dans mes calculs.. J'ai cherché ces valeurs en sachant que r(rayon polaire)=√(x²+y²) pour après chercher cos $θ\theta$ avec la formule cos $θ\theta$ =x/r mais je me retrouve avec r(rayon polaire)=√(x²+y²)= √(√3 + 2) et je sens que c'est étrange... car quand je remplace dans la formule cos $θ\theta$ =x/r cela donne cos $θ\theta$ =(√3/2 + 1)/(√(√3 + 2)) ...
je me suis donc arrêter là, mais il me reste aussi la question c): En déduire $cos⁡(5π/12)\cos (5\pi/12)$ , $sin(5π/12)sin(5\pi /12)$ , $cos⁡(17π/12)\cos (17\pi /12)$ et $sin⁡(17π/12)\sin (17\pi /12)$ .

Merci d'avance :rolling_eyes:

Bonsoir,

Comment est placé le point S ?

Noemi
Bonsoir,

Comment est placé le point S ?

Hm... aligné avec A. et il a pour coordonnée (√3/2 + 1; 1/2). Je ne comprends pas la question ?

Les coordonnées de S n'étant pas dans l'énoncé, je ne pouvais pas vérifier la question 1 b/.

Les coordonnées sont demandées à la question 3 ?

Tu n'as pas une indication sur les vecteurs dans l'énoncé avant la question 1 ??

je n'ai aucune autre indication que celles que j'ai marquées.

Vérifie l'énoncé.

Tu dois montrer que le quadrilatère est un losange car tu considère que la diagonale est une bissectrice.

Noemi
Vérifie l'énoncé.

Tu dois montrer que le quadrilatère est un losange car tu considère que la diagonale est une bissectrice.

Un losange est un parallélogramme avant tout. Mias je pensais que cela suffisait de dire qu'un parallélogramme avait ses diagonales sécantes en leurs milieux pour déduire que ce milieu et les sommets opposés à ce milieu étaient alignés. Ainsi, la droite passant par ce milieu et son sommet opposé est la bissectrice de l'angle opposé. J'ai vraiment besoin de prouver que c'est un losange avec ce raisonnement ?

Pour un triangle quelconque, la droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé est la médiane et non la bissectrice.

Si l'énoncé est juste :
"On considère le repère orthonormé (O,i, j) et I le point de coordonnées I(1;0).
1/ a) Placer le point A de coordonnées polaires (1;π/6)
b)Déterminer la nature du quadrilatère OASI. "

Sans autre indication, ni figure, on ne peux pas répondre à la question b car on n'a aucune indication sur S.

mais ici il s'agit d'un parallélogramme et non d'un triangle quelconque.

Mon exercice est impossible à faire ?? L'énoncé est juste, j'en suis certaine, j'ai le polycopié sous les yeux. Pour S j'ai juste l'indication avc les vecteurs, qui me disent qu'il est aligné à A; donc étant donné que je connais l'ordonné de , je connais aussi celle de S. Après j'ai calculé l'abcisse de S grâce au parallélogramme.

Ah.. veuillez m'excuser, j'ai interverti les questions: la question 1)b) est en fait la question 2)b).

Je comprends mieux.

les vecteurs OI et OA ont même norme 1, donc le quadrilatère OISA est un losange.

Oui, j'aurais dû préciser. Qu'en est-il pour mes autres réponses?

Pour les coordonnées du point S, tu peux utiliser :
vect OS = vect OI + vect OA

pour la question 3 b) calcule les coordonnées du point S en fonction de l'angle SOI. (projection du point S sur les deux axes)

merci, j'ai trouvé tout ce qu'il faut pour l'exercice. J'ai juste une dernière question pour la 3)a), comment puis-je jutifier le fait que x2 soit une solution non possible pour ce trinôme ?

L'abscisse du point S doit être > 1.