Polynôme de degrès 3 et fonctions dérivées

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	Polynôme de degrès 3 et fonctions dérivées
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Titboudchou15	Envoyé: 23.01.2010, 20:17
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Bonjour, J'ai cet exercice à faire pour la semaine prochaine. Je l'ai commencé mais je bloque, disons que je "m'embrouille" un peu... Je trouve, puis finalement c'est faux et ainsi desuite.. Je vous propose l'énoncé de cet exercice suivi de mes réponses : Soit : f(x) = ax^3 + bx² + cx + d, et sa courbe Cf dans un repère orthogonal. Données : ¤ Cf coupe l'axe des ordonnées en B (0;20). Ce point est un sommet de la courbe. ¤ Cf passe par le point A (-1;18) et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est 3. 1] A l'aide des informations de l'énoncé, déterminer les coefficients a, b, c et d de la fonction f. 2] Etudier les variations de f sur R puis construire le tableau de variations correspondant. Mes réponses : 1) Dites moi si je peux faire ceci : On dérive f(x)=ax^3 + bx² + cx + d . On a alors f'(x) : 3ax² + bx + c. On remarque que l'on a un polynome du 2nd degrès. Or la courbe d'un polynome du 2nd degrès est une parabole. On sait que le sommet d'une parabole est S ( -b/2a ; - delta/ 4a) Et on a comme sommet : B(0;20). Mais ensuite je m'enmèle les pinceaux... Pourriez-vous m'aider ? Merci beaucoup..


Zorro	Envoyé: 23.01.2010, 20:23
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Bonjour, Oh lala , tu confonds la courbe qui représente la fonction f et celle qui représente f'. Avec comme info : Cf coupe l'axe des ordonnées en B (0;20). Ce point est un sommet de la courbe, tu peux en conclure que : f(0) = 20 et f'(0) = 0 ... car en B , il y a un "sommet" , cela veut dire qu'en 0 la fonction passe de croissante à décroissante ou de décroissante à croissante donc f'(x) passe de positif à négatif ou le contraire en passant par la valeur 0. Avec l'info : " Cf passe par le point A (-1;18) et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est 3. Que peux tu dire de f(-1) et f '(-1) ?

Titboudchou15	Envoyé: 23.01.2010, 20:30
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	On résout : f(-1) =ax^3 + bx² + cx + d f(-1) = a × (-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d f(-1) = -1a + b - c + d et f'(-1) = 3ax² + bx + c f'(-1) = 3 × a × (-1)² + b×(-1) + c f'(-1) = 3a - b + c ?

Zorro	Envoyé: 23.01.2010, 20:50
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	On calcule f(-1) et f'(1) Et on dit que f(-1) = ... et que f '(-1) = ... Donc on résout ..... = ... et ... = ..... Il faudrait apprendre la différence entre résoudre et calculer ! Résoudre c'est chercher des nombres , calculer c'est autre chose !

Titboudchou15	Envoyé: 23.01.2010, 20:54
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Mais pour trouver f(-1) et f'(-1) il faut remplacer les valeurs dans f(x) et f'(x) ... ?

Zorro	Envoyé: 23.01.2010, 20:56
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Oui donc tu calcules f(-1) et f '(-1) en remplaçant x par -1 dans les expressions de f(x) et f '(x) Mais, si tu faisais un exercice à la fois ! Car tu vas vite te mélanger les pinceaux entre les 2 exos ?

Titboudchou15	Envoyé: 23.01.2010, 21:04
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Titboudchou15 On cherche : f(-1) =ax^3 + bx² + cx + d f(-1) = a × (-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d f(-1) = -1a + b - c + d et f'(-1) = 3ax² + bx + c f'(-1) = 3 × a × (-1)² + b×(-1) + c f'(-1) = 3a - b + c ? C'est ce que j'avais fait mais comme je n'ai pas les coefficients, je ne peux pas aller plus loin... Oui, je se serait bien en effet de finir l'autre exercice puis celui là ensuite.

Zorro	Envoyé: 23.01.2010, 21:16
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	f(-1) doit être égal à ... (première équation) f'(-1) doit être égale à ... (deuxième équation) f(0) = 20 ..... (troisième équation) f'(0) = 0 ..... (quatrième équation) Tu as 4 inconnues a , b , c et d et tu as 4 équations (comme le monde des maths est bien fait !) Donc tu devrais, demain , après une bonne nuit , trouver a , b , c et d.

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 09:26
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Est-ce que la dérivée de ax^3 + bx² + cx + d est bien : f'(x) : 3ax² + bx + c ? On a : f(-1) = -1a + b - c + d f'(-1) = f'(-1) = 3a - b + c f(0) = 20 f'(0) = 0 On doit résoudre un système pour trouver les coefficients a, b, c, et d ?

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 10:09
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	f '(x) est fausse ! Donc la suite aussi !

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 10:20
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	f(x) = ax^3 + bx² + cx + d donc : f'(x) = a × 3x² + b×2x² + c f'(x) = 3ax² + 2bx + c ?

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 10:29
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Zorro Que peux tu dire de f(-1) et f '(-1) ? Comme Cg passe par le point A (-1; 18), je peux dire que : f(-1) = 18 et que f'(-1) = -1 ?

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 10:33
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	f'(x) = 3ax² + 2bx + c enfin juste ! Comme Cf passe par le point A (-1; 18), tu peux dire que : f(-1) = 18 et c'est tout !!!! qu'elle info permet de connaitre f '(-1) ?

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 10:40
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Est-ce que c'est l'info avec le coefficient directeur de la tangente ?? modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 11:28

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 17:18
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Comment dois-je procéder pour trouver les coefficients a, b, c et d ?

Noemi	Envoyé: 24.01.2010, 17:28
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonsoir, Tu utilises les écritures des équations d'inconnues a, b, c et d correspondant à : f(0) = 20 f'(0) = 0 f(-1) = 18 f'(-1) = 3 Indications déjà données par Zorro.

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 17:57
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	C'est à dire que je dois remplacer dans f(x) et f'(x) 20, 0, 18 et 3 ?

Noemi	Envoyé: 24.01.2010, 17:59
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Chaque expression te donnera une équation pour f(0) = 20, tu remplaces x par 0 dans f(x) ....

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 18:17
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Pour f(0) = 20, on a : f(0) = a×0³ + b×0² + c×0 + d Pour f'(0) = 0, on a : f'(0) = 3×a×0² + 2×b×0 + c Pour f(-1) = 18, on a : f(-1) = a×-1³ + b×-1² + c×-1 + d Pour f'(-1) = 3, on a : f'(-1) = 3×a×-1² + 2×b×-1 + c

Noemi	Envoyé: 24.01.2010, 18:18
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, Simplifie chaque expression, écris le système puis tu le résous.

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 18:30
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Je simplifie ... : Pour f(0) = 20, on a : f(0) = a×0³ + b×0² + c×0 + d = 0 + 0 + 0 + d =20 donc d vaut 20 Pour f'(0) = 0, on a : f'(0) = 3×a×0² + 2×b×0 + c = 0 + 0 + c = 0 donc c vaut 0 Pour f(-1) = 18, on a : f(-1) = a×-1³ + b×-1² + c×-1 + d = -a +b -c + d = -a +b - 0 + 20 = -a +b + 20 Pour f'(-1) = 3, on a : f'(-1) = 3×a×-1² + 2×b×-1 + c = 3a² -2b + c = 3a² -2b + 0 = 3a² -2b modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 18:46

Noemi	Envoyé: 24.01.2010, 18:33
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Deux erreurs : Pour f(-1) = 18, on a : f(-1) = a×(-1)³ + b×(-1)² + c×(-1) + d = -a + b -c + d = .... Pour f'(-1) = 3, on a : f'(-1) = 3×a×(-1)² + 2×b×(-1) + c = 3a² -2b + c = ...

j-gadget	Envoyé: 24.01.2010, 18:36
Cosmos enregistré depuis: août. 2005 Messages: 566 Status: hors ligne dernière visite: 23.05.11	Les deux premières résolutions sont justes, mais pour les deux dernières, il ne doit pas y avoir de x, puisque tu l'as remplacé par -1. Attention, de même, au fautes de signe.

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 18:50
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	A oui j'ai fait des fautes avec les "x³" j'ai recopié le x meme si je l'avais remplacé... Je fais souvent des fautes de signes malgrès moi .. J'ai donc rectifié mes erreures et je vais faire un système avec les équations suivantes : Pour f(-1) = 18 = -a +b + 20 Pour f'(-1) = 3 = 3a² -2b sachant que c vaut 0 et d vaut 20.

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 18:54
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Et si tu écrivais les équations que tu dois résoudre ? Une seule fois, rien que pour qu'on voit que tu comprends ce que tu fais et que tu ne joues pas au devinettes !

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:05
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	J'ai compris ce que j'ai fait jusqu'a présent mais je n'arrive pas à résoudre le système. Je ne sais pas quelle expression utiliser

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:09
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Je sais que je dois utiliser : f(-1) = 18 = -a +b + 20 et f'(-1) = 3 = 3a² -2b mais meme si j'ai déja c et d, cela ne me sert pas dans ces 2 équations

j-gadget	Envoyé: 24.01.2010, 19:13
Cosmos enregistré depuis: août. 2005 Messages: 566 Status: hors ligne dernière visite: 23.05.11	Il y a une erreur dans la deuxième équation, ce n'est pas a² mais a. Tu as les deux (magnifiques) équations : 18 = -a + b +20 3 = 3a - 2b C'est un système de deux équations à deux inconnues, pas besoin de c et d pour trouver a et b. modifié par : j-gadget, 24 Jan 2010 - 19:14

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 19:14
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Il y a 4 inconnues , il faut 4 équations .... Pour faire ta démonstration , il faut que tu écrives les 4 équations , avant de résoudre le système ..... f(-1) = 18 ⇒ (une expression avec des a des b des c et des d) = 18 f '(-1) = -3 ⇒ (une expression avec des a des b des c et des d) = -3 etc ....

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:16
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Ah d'accord ! Ah oui je croyais en avoir besoin mais non, c'est vrai. Merci j-gadget . Je les résout puis je poste le résultat dès que j'ai fini !

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:20
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Merci Zorro. f(-1) = 18 ⇒ -a +b -c +d = 18 soit ⇒ -a+b +20 = 18 f '(-1) = 3 ⇒ 3a -2b +c = 3 soit ⇒ 3a -2b = 3 modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 19:22

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:27
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	En résolvant le système : -a + b + 20 3a -2b = 3 Je trouve que b=3 et a = -1. J'ai vérifié en remplacant a et b dans une autre équation (par ex: f(-1) = -a + b + 20, et je trouve bien 18) donc en théorie mes résultats sont justes. modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 19:28

j-gadget	Envoyé: 24.01.2010, 19:31
Cosmos enregistré depuis: août. 2005 Messages: 566 Status: hors ligne dernière visite: 23.05.11	Pour savoir si c'est juste, remplace les valeurs trouvées dans les équations, et là, ça ne marche pas... Je trouve la même valeur que toi pour a, mais pas pour b. Attention aux erreurs de signe.

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 19:35
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Que vaut f(-1) avec des des a des b des c et des d ? donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ? Que vaut f '(-1) avec des des a des b des c et des d ? donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ? Que vaut f(0) avec des des a des b des c et des d ? donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ? Que vaut f '(0) avec des des a des b des c et des d ? donc (une expression avec des a des b des c et des d) = quoi ?

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:40
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	J'ai fait ça : (je ne voit aps mon erreur pourtant ) -a + b + 20 = 18.........-a+b = 18-20...........-a+b = -2.......b = a-2 3a -2b =3.......................3a -2b = 3.............3a -2b =3......3a-2(a-2)=3 b = a-2............b=a-2.........b=a-2..........b=a-2........b = -1-2........b=-3 3a-2a+4= 3.....a +4=3........a=3-4..........a =-1..........a=-1..........a=-1 modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 19:45

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 19:46
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Et si tu nous évitais de chercher où tu a mis f(-1) f '(-1) f(0) f '(0) en nous disant pour f(-1) je trouve ..... donc ...... = .... pour f '(-1) je trouve ..... donc ...... = .... pour f(0) je trouve ..... donc ...... = .... pour f '(0) je trouve ..... donc ...... = ....

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 19:49
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	En remplaçant dans toutes les équations, je trouve tous les bons résultats soient : f(-1) = -(-1) + (-3) + 20 donc f(-1) = 18. f'(-1) = 3×(-1) - 2×(-3) f'(-1) = 3 f(0) = (-1)×0³ + (-3)×0² + 0×0 + 20 f(0) = 20 f'(0) = 3×(-1)×0² + 2×(-3)×0 + 0 f'(0) = 0 ! Donc a = -1 , b = -3 , c =0 et d =20 modifié par : Titboudchou15, 24 Jan 2010 - 19:50

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 19:54
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	oh ! ***** (excuse ce gros mot mais je ne sais pas dire autrement mon étonnement ! ) Il n'y a plus de a ni de b ni de c ni de d .... alors comment tu fais pour touver a , b , c et d ... tu es magicien ! et tu vas les sortir de ton chapeau ? Je t'ai demandé des expressions avec des a des b des c et des d ... Tu comprends ou tu comprends rien ?

Zorro	Envoyé: 24.01.2010, 19:58
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 8687 Status: hors ligne dernière visite: 11.12.11	Ah le forum est bien contrôlé ... il ne m'a pas laissé écrire le vilain mot que je voulais écrire ... Mais quand même , tu es en 1ère S , il faut se secouer un peu et réfléchir ! En 1ère ES, on admettrait des erreurs, mais là , il faut réagir très vite avant de couler dans le grand bain !

Titboudchou15	Envoyé: 24.01.2010, 20:03
Galaxie enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 31.03.10	Mais c'est ce que j'ai fait ! Mais j'ai remplacé les a, b, c et d par les coefficients que j'ai trouvé, pour vérifier si je trouvais les bons résultats......... Non, je ne comprends plus