Etude de signes et de variations à l'aide de la fonction dérivée

Bonjour à tous et à toutes,

J'ai a faire cet exercice pour la semaine prochaine, je comprends l'exercice (je sais faire ce qui est demandé) mais avec les résultats que je trouve, je n'arrive pas à faire la suite de l'exercice sachant que si je me suis trompée sur le calcul de la dérivée, la suite de mon exercice est fausse...

*Voilà l'énoncé *:

Soit la fonction f(x) = (2x² -3)/ (x² -1).
1] Déterminer le domaine de définition de f.
2] Etudier les variations de f sur Df.
3] Construire le tableau de variation de f sur [-5; 5].
4] Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cg (courbe représentative de f avec les axes du repère).
5] Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2.
6] f est-t'elle paire ou impaire ? Les 2 ? Aucunes ?

*Voilà mes réponses : *

1] f définie si et seulement si x^2 - 1 ≠ 0. Donc x² - 1 = 0
donc x = 1 ou x = -1
donc Df = R \ {-1;1}.

2]
On calcule la dérivée :f'
On trouve f'(x) = (2x)/(x² -1)²
Ensuite on étudie le signe de f'(x):
On étudie le signe du numérateur 2x = 0 donc x=0.
Et pour le dénominateur, comme c'est un quotient est que c'est un carré, il est positif car un carré est toujours positif. Donc (x² -1)² > 0 pour tout x ∈ à Df.

3] C'est ici que j'ai peur de me tromper. Dites moi si mes résultats sont bons :

Sur [-5; 5] on a :

Merci pour votre aide. :rolling_eyes:

Bonjour,

Vérifie le calcul pour le signe de 2x
Si x = -3 ; 2x = ...

Pour la dérivée ?

La dérivée est juste.

Ah d'accord.
Mais qu'avez voulu dire avec " Si x = -3 ; 2x = ... " ?

C'est pour le tableau de variation, le signe pour 2x est faux.

Mais comment je peux trouver le signe de 2x ? Je dois prendre le numérateur de f(x) qui est 2x²-3 et je résout :

2x²-3 = 0 ?
2x² = 3
x² = 3/2
x = √(3/2) ou x = - √(3/2) ?

Tu résous 2x >0 , soit x ....

D'accord. Je fais :

2x>0
donc x > 0/-2
donc x > 0
x est strictement positif donc 2x reste positif ?

Oui
et si x < 0 .....

J'ai compris !
Si x<0 alors le signe de 2x est +, et
si x>0 alors le signe de 2x est -
Je vais rectifier mon tableau

Titboudchou15
J'ai compris !
Si x<0 alors le signe de 2x est +, et
si x>0 alors le signe de 2x est -
Je vais rectifier mon tableau

Attention c'est :
Si x > 0 alors le signe de 2x Est +
si x < 0 ...

En effet, je suis allée trop vite... :rolling_eyes:

Et est-ce que, pour le tableau de variation de [-5; 5], on a les memes variations que sur Df ?

Oui

Tu peux écrire -5 ; +5 à la place de -∞ et +∞.

D'accord, merci
Ensuite pour déterminer les points d'intersections de Cg la courbe, on doit utiliser l'équation de la tangente non ?

Question 4, On demande les coordonnées des points d'intersection avec les axes,
soit x = 0 et on cherche le y correspondant,
soit y = 0 et on cherche le x correspondant.

On doit remplacer par 0 ? Je ne saisi pas tellement.. :rolling_eyes:

A partir de : f(x) = (2x² -3)/ (x² -1)
tu résous f(x) = 0 et tu obtiens les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des x.
ensuite :
tu calcules f(0) et tu obtiens les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des y.

f(x) = 0
je dis que x²-1 ≠ 0 donc 2x² -3 donc x = √3/2 ou x = -√3/2 ?

Noemi
A partir de : f(x) = (2x² -3)/ (x² -1)
tu résous f(x) = 0 et tu obtiens les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des x.
ensuite :
tu calcules f(0) et tu obtiens les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des y.

Mais ce n'est pas plutôt :

On résout f(x) = 0 et on obtient les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des y.
ensuite :
On calcule f(0) et on obtient les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des x ??

Non

Si tu calcules f(0) tu poses x = 0, donc tu cherches y et tu obtiens un point de coordonnées (0 ; y) donc un point qui est sur l'axe des y.

Ah d'accord, je n'avais pas compris.
Mais comment est-ce que je résous f(x)=0 car il y a des carrés ?

Je résous le dénominateur puis le numérateur = 0 ?

2x²-3 = 0, tu factorises l'expression avec les identités remarquables ou le discriminant.

Donc on a 2x²-3 =0

Delta = b² -4ac
= (-3)² - 4.2.0
= 9
Delta > 0 donc 2 racines :
x1 = (-b -√delta) / 2a et x2 =(-b +√delta) / 2a
x1 = (3 - √9) / 4 x2 = (3 + √9)/4
x1= 0 x2= 3/2

Non,

b = 0, rectifie tes calculs.

Ah oui je suis tombée dans la piege..
Alors je reprend :

Delta = b² -4ac
= (0)² - 4.2.0
= 0
Delta = 0 donc 1 racine :
x1 = -b / 2a
x1 = 0 / (2×2)
x1 = 0/4
x1 = 0

c n'est pas égal à 0.

Oups pardon :rolling_eyes:

Donc. Delta = b² -4ac
= (0)² - 4.2.(-3)
= 24 !
Donc 2 racines :
x1 = (-b -√delta) / 2a et x2 =(-b +√delta) / 2a
x1 = (0-√24) / 2x2 x2 = (√24) /4
x1= -√24 / 4 x2 = √6/2
x1 = -√6 /2

Oui,

x1 = √6/2 et x2 = -√6/2

Donc la courbe coupe l'axe des x en √6/2 et -√6/2 .
Maintenant je fais f(0) pour trouver quels sont les points d'intersection de la courbe sur l'axe des y ?

Oui,

c'est correct.

f(0) = (2×0² -3)/(0²-1)
f(0) = 3
Donc la courbe coupe l'axe des y en 3.

C'est juste point de coordonnées (0 ; 3).

Merci

Et pour la question 5 j'utilise l'équation de la tangente et je remplace a par 2 (dans la formule) c'est ca ?

oui,
a = 2

Merci !

Et pour la derniere question, comment sait-on si f(x) est pair ou impaire ou les 2 ? Ou ni l'un ni l'autre ?
Je n'ai pas abordé cette notion en cours et j'ai du mal a comprendre sur la lecon sur mon livre :rolling_eyes:

Pour que la fonction soit paire :
On vérifie :
que si x appartient à Df, -x appartient à Df
et f(-x) = f(x).

Calcule f(-x) = ..

Oui...
f(-x) = (-2x²-3)/(-x²-1) ... ??