Etude d'une fonction avec logarithme népérien


  • V

    Bonsoir j'ai cet exercice à faire mais je n'y arrive pas, merci de m'aider.

    f est la fonction définie par:
    f(x)=x²+ln(1+(1/x))
    ℘ est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j).

    1. On considère la fonction polynome p définie pour tout réel x par: p(x)=2x³+2x²-1.
      a) Montrer que l'équation p(x)=0 admet une unique solution réelle ∂ appartenant à l'intervalle [0;1].
      b) Justifier que ∂ vérifie ∂²=1/(2(∂+1))
      c) En déduire l'encadrement 1/4≤∂²≤1/2
      d) Puis en déduire un encadrement de ∂
      e) A l'aide de la calculatrice, donner une approximation de ∂ a 10−210^{-2}102.
      f) Donner, en fonction de x, le signe de p(x) sur ℜ.

    2. Déterminer le signe de (x+1)/x sur ℜ, puis en déduire Df de la fonction f.

    3. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de Df.

    4. Calculer f'(x), puis l'exprimer en fonction de p(x).

    5. Déduire de la question 1), le signe de f'(x) sur Df.

    6. Justifier que: 1+(1/∂)=1/(2∂³).
      En déduire que f'(∂)=∂²-ln2-3ln∂.
      7)A l'aide de l'encadrement de ∂, monter que pour tout x>0 on a : f(x)≥(1+2ln2)/4
      8)Dresser le tableau complet des variations de la fonction f.

    7. Etudier la position relative des variations de ℘ avec la parabole p d'équation y=x².

    8. Expliquer pourquoi le tracé de p facilite celui de ℘.

    9. Tracer p et ℘

    j'ai reussi à faire la 1a)

    merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    ∂ vérifie 2∂3^33 + 2∂² = 1
    Continue


  • V

    2∂³+2∂²=1 ⇔∂²(2∂+2)=1⇔∂²=1/(2∂+2)⇔∂²=1/2(∂+1)


  • M

    Oui, à condition de préciser que ∂≠-1( il est compris entre 0 et 1).
    En utilisant cette égalité et le fait que ∂ est compris entre 0 et 1 , tu dois aboutir à l'encadrement souhaité de ∂².
    Puis de ∂.


  • V

    0≤∂≤1
    ⇔1≤∂+1≤2
    ⇔2≤2(∂+1)≤4
    ⇔1/4≤1/2(∂+1)≤1/2
    ⇔1/4≤∂²≤1/2
    d)1/2≤∂≤1/√2
    e) je n'ai pas trouvé
    je bloque à la question f)
    merci d'avance


  • M

    ∂ est donc compris entre 0.5 ( 1/2) et 0.71 (≈1/√2)
    Pour affiner l'encadrement, calcule p(0.5),p(0.6) : ce n'est pas la valeur trouvée qui compte, mais son signe.


  • V

    p(0.5)=-0.25
    p(0.6)=0.152
    donc -0.25≤∂≤0.152


  • M

    Non : le raisonnement est faux :
    -0.25 < p(∂) < 0.152, c'est-à-dire : p(0.5) < p(∂) < p(0.6)
    donc 0.5 < ∂ < 0.6 car p est croissante sur [0 ; 1]
    ceci est un encadrement à 10−110^{-1}101 près
    Mais on te demande l'encadrement à 10−210^{-2}102, il faut donc tester les signes de
    p(0.51),p(0.52) ,...
    Pour gagner du temps, calcule p(0.56) et p(0.57)


  • V

    ok mercii
    pour la question f), je ne sais vraiment pas comment faire
    merci d'avance


  • M

    Tu dois avoir fait un tableau de variations pour la fonction p, sinon, comment as-tu répondu à la question 1a) ?
    Si tu ne l'as pas encore fait, étudie les variations de p.


  • V

    p'(x)=6x²+4x
    p est croissante sur ]-∞;-4[∪]0;+∞[ et décroissante sur ]-4;0[.


  • M

    Non : factorise p'(x) afin de déterminer correctement son signe.


  • V

    p'(x)=x(x+4)
    x(x+4)=0 ⇔ x=0 x=-4


  • M

    Non!
    Tu as p'(x) = 6x² + 4x qui n'est pas égal à x(x+4) : que fais-tu du 6 ?


  • V

    ouii c'est vrai:
    x=0 6x=-4⇔x=-4/6=-2/3


  • M

    Attention à la présentation :
    p'(x) = 0 ⇔ x = 0
    oux = -2/3
    Alors tu peux donner les variations de p, puis en déduire son signe.


  • V

    p est croissante sur ]-∞;-2/3[∪]0;+∞[ et décroissante sur ]-2/3;0[.


  • M

    Oui, et on a vu que p s'annule en ∂ compris entre 0 et 1.
    Précise maintenant le
    signede p(x)
    Tu vas avoir besoin du signe de p(-2/3) et du signe de p(0).


  • V

    p est négative sur ]-∞;-2/3[∪]-2/3;0[ et positive sur ]0;+∞[ car p(-2/3)=-0.7 et p(0)=-1


  • M

    Non:
    Pour commencer, inutile de séparer les deux premiers intervalles :
    ]-∞;-2/3[∪]-2/3;0[∪{-2/3} = ]-∞ ; 0[ ( -2/3 n'a aucune raison d'être exclu ).
    Ensuite, p(-2/3) nettement différent de -0.7 : tu confonds -2/3 et p(-2/3)
    Encore : tu ne tiens pas compte de ∂ qui annule p
    Enfin, p(x) n'est probablement pas positif sur [0 ; +∞[ car p(0) = -1.
    Fais un tableau de variations où tu placeras en première ligne les valeurs : -2/3 , 0 , ∂ , 1
    En dernière ligne , place en dessous les valeurs correspondantes de p.
    Et tu n'auras plus qu'à regarder les signes ( de p(x) ).


  • V

    x : -2/3 0 ∂ 1
    2x³+2x²-1: - - + +


  • M

    Non: sur ta réponse il manque un intervalle, donc on ne sait pas trop à quoi les signes correspondent.
    Sur ]-∞;-2/3], p est croissante, et p(x) est négatif ( car p(-2/3) l'est )
    Sur [-2/3; 0] , p est décroissante et p(x) reste évidemment négatif.
    Sur [0 ; +∞[, p est croissante mais s'annule en ∂
    Donc on doit décomposer ce dernier intervalle en deux :
    sur [0 ; ∂] , p(x) est négatif ( ou nul )
    sur [∂ ; +∞[, p(x) est positif ( ou nul).
    En résumé :
    sur ]-∞ ; ∂[ , p(x) est strictement négatif
    Pour x = ∂, p(x) = 0
    Sur ]∂ ; +∞[ , p(x) est strictement positif.


  • V

    ah okok merciii
    mais comment on fait pour donner le signe de p(x) en fonction de x?


  • M

    Ben je t'ai donné la réponse :
    Citation
    sur ]-∞ ; ∂[ , p(x) est strictement négatif
    Pour x = ∂, p(x) = 0
    Sur ]∂ ; +∞[ , p(x) est strictement positif.La justification vient du tableau de variations que tu dois donc fournir dans ton devoir.


  • V

    okok mercii
    pour la question 2) j'ai trouvé Df=]-∞;-1[∪]0;+∞[
    est-ce que c'est juste?


  • M

    C'est juste.


  • V

    okok mercii
    pour les limites:
    limf(x)=+∞
    x>-∞

    limf(x)=+∞
    x>+∞

    limf(x)=+∞
    x>0+

    limf(x)=0
    x>0-

    et j'ai pas reussi pour la limite quand x tend vers -1


  • M

    Rebonjour,
    les trois premières limites sont justes.
    Mais la quatrième n'a pas lieu d'être : si x → 0−0^-0, x n'appartient pas à Df !

    Procède par étapes successives :
    Quand x → −1−-1^-1 :
    x+1 → 0 , mais avec quel signe ?
    Quelle est la limite de (x+1)/x ?
    Quelle est la limte de son logarithme ?
    enfin quelle est la limite de f(x)?


  • V

    limx+1=0+ quand x tend vers −1−-1^-1
    limx+1/x=0+ quand x⇒−1−-1^-1
    limln=+∞ quand x⇒0−0^-0
    donc lim de f(x)=+∞

    lim x+1=0+ quand x⇒−1+-1^+1+
    limx+1/x=0+ quand x⇒−1+-1^+1+
    limln=+∞ quand x⇒0+0^+0+
    donc lim de f(x)=+∞


  • M

    Citation
    Mais la quatrième n'a pas lieu d'être : si x → 0−0^-0, x n'appartient pas à Df !Et c'est la même chose si x → −1+-1^+1+

    La limite lorsque x → −1−-1^-1 est fausse : plusieurs erreurs.
    Lorsque x → −1−-1^-1 :
    x+1 → 0 mais est
    négatif
    x est négatif ( il tend vers -1 )
    donc (x+1)/x est positif et tend vers 0
    donc son logarithme tend vers ?? ( limite du logarithme en 0+0^+0+ )


  • V

    +∞
    j'ai reussi à faire tous le reste sauf la question 7), est-ce que vous pouvez m'aider?
    merci beaucoup


  • M

    Oui, on va voir la 7, mais pour le moment ta réponse est fausse : c'est du cours : lorsque u tend vers 0+0^+0+, ln(u) tend vers ??


  • V

    oui c'est -∞


  • M

    OK
    Pour la 7 , commence par vérifier que pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ f(∂).
    Pour cela, je pense utile de répondre d'abord à la question 8.


  • V

    j'ai déjà répondu la question 8):
    f décroissante sur ]-∞:-1[, croissante sur ]-1;0[, décroissante sur ]0;∂[ et croissante sur ]∂;+∞[


  • M

    Citation
    croissante sur ]-1;0[Impossible ! f n'est pas définie sur cet intervalle.
    Citation
    pour la question 2) j'ai trouvé Df=]-∞;-1[∪]0;+∞[
    Regarde maintenant ton tableau sur ]0 ; +∞[ : On voit que f(x) ≥ f(∂) sur cet intervalle.
    Pour démontrer ton égalité, il suffit donc de démontrer que
    f(∂) ≥ (1 + 2ln 2)/4


  • V

    ah okok mercii
    1/4≤∂²≤1/2
    ⇔1/4-ln2≤∂²-ln2≤1/2-ln2
    ⇔1/4-ln2-3ln∂≤∂²-ln2-3ln∂≤1/2-ln2-3ln∂
    ⇔(1-4ln2-12ln∂)/4≤f(∂)≤1/2-ln2-3ln∂

    je ne trouve pas le résultat demandé :frowning2:


  • M

    C'est à cause du ln ∂ : en utilisant ∂ ≤ 1/√2, tu peux en déduire une inégalité sur ln ∂ que tu injectera ensuite dans l'inégalité trouvée.


  • V

    oui j'ai trouvé:
    ln∂≤ln(1/√2)=-ln√2=-1/2ln2
    en remplaçant:(1-4ln2-12ln∂)/4=(1-4ln2+6ln2)/4=(1+2ln)/4


  • M

    Oui, et seule l'inégalité de gauche est utile ici.


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