Bonsoir j'ai cet exercice à faire mais je n'y arrive pas, merci de m'aider.
f est la fonction définie par:
f(x)=x²+ln(1+(1/x))
℘ est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) On considère la fonction polynome p définie pour tout réel x par: p(x)=2x³+2x²-1.
a) Montrer que l'équation p(x)=0 admet une unique solution réelle ∂ appartenant à l'intervalle [0;1].
b) Justifier que ∂ vérifie ∂²=1/(2(∂+1))
c) En déduire l'encadrement 1/4≤∂²≤1/2
d) Puis en déduire un encadrement de ∂
e) A l'aide de la calculatrice, donner une approximation de ∂ a 10-2.
f) Donner, en fonction de x, le signe de p(x) sur ℜ.
2) Déterminer le signe de (x+1)/x sur ℜ, puis en déduire Df de la fonction f.
3) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de Df.
4) Calculer f'(x), puis l'exprimer en fonction de p(x).
5) Déduire de la question 1), le signe de f'(x) sur Df.
6) Justifier que: 1+(1/∂)=1/(2∂³).
En déduire que f'(∂)=∂²-ln2-3ln∂.
7)A l'aide de l'encadrement de ∂, monter que pour tout x>0 on a : f(x)≥(1+2ln2)/4
8)Dresser le tableau complet des variations de la fonction f.
9) Etudier la position relative des variations de ℘ avec la parabole p d'équation y=x².
10) Expliquer pourquoi le tracé de p facilite celui de ℘.
11) Tracer p et ℘
Mathtous
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Oui, à condition de préciser que ∂≠-1( il est compris entre 0 et 1).
En utilisant cette égalité et le fait que ∂ est compris entre 0 et 1 , tu dois aboutir à l'encadrement souhaité de ∂².
Puis de ∂.
Mathtous
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∂ est donc compris entre 0.5 ( 1/2) et 0.71 (≈1/√2)
Pour affiner l'encadrement, calcule p(0.5),p(0.6) : ce n'est pas la valeur trouvée qui compte, mais son signe.
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Non : le raisonnement est faux :
-0.25 < p(∂) < 0.152, c'est-à-dire : p(0.5) < p(∂) < p(0.6)
donc 0.5 < ∂ < 0.6 car p est croissante sur [0 ; 1]
ceci est un encadrement à 10-1 près
Mais on te demande l'encadrement à 10-2, il faut donc tester les signes de
p(0.51),p(0.52) ,...
Pour gagner du temps, calcule p(0.56) et p(0.57)
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Tu dois avoir fait un tableau de variations pour la fonction p, sinon, comment as-tu répondu à la question 1a) ?
Si tu ne l'as pas encore fait, étudie les variations de p.
modifié par : mathtous, 21 Jan 2010 - 15:47
Mathtous
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Non : factorise p'(x) afin de déterminer correctement son signe.
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Non!
Tu as p'(x) = 6x² + 4x qui n'est pas égal à x(x+4) : que fais-tu du 6 ?
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Attention à la présentation :
p'(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = -2/3
Alors tu peux donner les variations de p, puis en déduire son signe.
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Oui, et on a vu que p s'annule en ∂ compris entre 0 et 1.
Précise maintenant le signe de p(x)
Tu vas avoir besoin du signe de p(-2/3) et du signe de p(0).
modifié par : mathtous, 21 Jan 2010 - 15:48
Mathtous
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Non:
Pour commencer, inutile de séparer les deux premiers intervalles :
]-∞;-2/3[∪]-2/3;0[∪{-2/3} = ]-∞ ; 0[ ( -2/3 n'a aucune raison d'être exclu ).
Ensuite, p(-2/3) nettement différent de -0.7 : tu confonds -2/3 et p(-2/3)
Encore : tu ne tiens pas compte de ∂ qui annule p
Enfin, p(x) n'est probablement pas positif sur [0 ; +∞[ car p(0) = -1.
Fais un tableau de variations où tu placeras en première ligne les valeurs : -2/3 , 0 , ∂ , 1
En dernière ligne , place en dessous les valeurs correspondantes de p.
Et tu n'auras plus qu'à regarder les signes ( de p(x) ).
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Non: sur ta réponse il manque un intervalle, donc on ne sait pas trop à quoi les signes correspondent.
Sur ]-∞;-2/3], p est croissante, et p(x) est négatif ( car p(-2/3) l'est )
Sur [-2/3; 0] , p est décroissante et p(x) reste évidemment négatif.
Sur [0 ; +∞[, p est croissante mais s'annule en ∂
Donc on doit décomposer ce dernier intervalle en deux :
sur [0 ; ∂] , p(x) est négatif ( ou nul )
sur [∂ ; +∞[, p(x) est positif ( ou nul).
En résumé :
sur ]-∞ ; ∂[ , p(x) est strictement négatif
Pour x = ∂, p(x) = 0
Sur ]∂ ; +∞[ , p(x) est strictement positif.
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Ben je t'ai donné la réponse :
La justification vient du tableau de variations que tu dois donc fournir dans ton devoir.
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Rebonjour,
les trois premières limites sont justes.
Mais la quatrième n'a pas lieu d'être : si x → 0-, x n'appartient pas à Df !
Procède par étapes successives :
Quand x → -1- :
x+1 → 0 , mais avec quel signe ?
Quelle est la limite de (x+1)/x ?
Quelle est la limte de son logarithme ?
enfin quelle est la limite de f(x)?
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La limite lorsque x → -1- est fausse : plusieurs erreurs.
Lorsque x → -1- :
x+1 → 0 mais est négatif
x est négatif ( il tend vers -1 )
donc (x+1)/x est positif et tend vers 0
donc son logarithme tend vers ?? ( limite du logarithme en 0+ )
Mathtous
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Oui, on va voir la 7, mais pour le moment ta réponse est fausse : c'est du cours : lorsque u tend vers 0+, ln(u) tend vers ??
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OK
Pour la 7 , commence par vérifier que pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ f(∂).
Pour cela, je pense utile de répondre d'abord à la question 8.
Mathtous
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Impossible ! f n'est pas définie sur cet intervalle.
Regarde maintenant ton tableau sur ]0 ; +∞[ : On voit que f(x) ≥ f(∂) sur cet intervalle.
Pour démontrer ton égalité, il suffit donc de démontrer que
f(∂) ≥ (1 + 2ln 2)/4
Mathtous
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C'est à cause du ln ∂ : en utilisant ∂ ≤ 1/√2, tu peux en déduire une inégalité sur ln ∂ que tu injectera ensuite dans l'inégalité trouvée.
Mathtous
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Oui, et seule l'inégalité de gauche est utile ici.
Mathtous
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