Bonjour à tous, encore une fois je demande de l'aide pour un DM!!! Donc je remercie d'avance toutes personnes qui pourra m'aider!
Partie A:
Soit D la fonction définie sur [2;20] par :
D(x) = x - 2 - 2 ln (x)
a. Étudier les variations de la fonction D et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que la fonction D s'annule exactement une fois sur [2;20]. Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
c.En déduire le signe de la fonction D sur [2;20] et récapituler les résultats dans un tableau.
Partie B:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Les unités graphiques étant 1 cm dans l'axe des abscisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
Soit f la fonction définie sur ]2;20] par :
f (x) = x ln (x) / x-2
C désigne la courbe représentative de la fonction f.
a. Montrer que la dérivée f' de f a le même signe que D, sur ]2;20]. Étudier les variations de f, déterminer la limite de f en 2, puis dresser le tableau de variations.
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
c. Tracer la courbe C.
Partie C:
Soit g :[2; 20]→|R
x:→ 1/2x² -2x ln (x)
1. Montrer que g est une primitive de D sur [2; 20].
2. Soit I le nombre défini par : I= ∫20 16 D(x)dx
a. Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres ln 2 et ln 5
b. Donner la valeur de I arrondie à deux décimales
Partie A: Je sais faire la a. et b., par contre la c. je ne sais pas comment faire!
Partie A,
Si tu as dressé le tableau de variation et indiqué dans quel domaine varie f(x) alors tu peux répondre à la question c).
Indique tes résultats pour a. et b.
Partie A:
a. D'(x)= x-2 / x
[0;2] inférieur et [2;20] supérieur donc D(x) décroissant sur [0;2] et croissant sur [2;20]. Mais avec ce tableau aucune valeur ne s'annule sur [2;20]??
Je comprends où je me suis trompé!
Après relecture de mon brouillon, je vois que je ne ma suis pas trompée, puis le reste de la partie est venu, tout simplement. Par contre, pour la partie B, la question 2, je ne vois pas comment faire!
la tangente à la courbe de f est parallèle à l'axe horizontal lorsque son coefficient directeur est égal à 0
or le coefficient directeur de la tangente est de façon générale aussi égal à 0
ll faut donc étudier l'existence de solutions à l'équation f(x)=0!
Donc reprendre le théorème pour pouvoir calculer l'équation d'une tangente!
Mais je rencontre un petit problème, parce que j'hésite sur la dérivée de x ln(x) / x-2
Et puis une question qui ne se rapporte pas à cette exercice: comment résoudre un équation de la forme: ln(a-x) x ln(x- b) ≤0( car je ne vois aucune propriété qui y ressemble??!
Donc f(2)=0!
Mais oui j'avais oublier de vous demander, toujours dans la partie B j'ai un bug pour calculer les limites, parce que la fonction est défini dans mes limites et quand je calcul par exemple f(5,4)≈2,68 et f(20)≈3,32 mais comme ma fonction est décroissante sur [0;2] mais que f(2)<f(5,4)! comment je fais pour calculer les limites!
Dans la partie C, je trouve comme primitive, G= x²/2 -2x- 2xln (x)!
Quand x tend vers 2+ la limite de f correspond à celle de 1/x quand x tend vers 0+ donc la limite est égale à +∞
f(x) décroissante sur [0;2] et croissante sur [2; 5,4]
Il n'y a pas vraiment de calcul pour trouver la primitive.
Par contre, j'ai pas trop compris pour les limites!
moi j'ai trouvé comme primitives
Dans la partie C, je trouve comme primitive, G= x²/2 -2x- 2xln (x),mais c'est pas bon!
Pour les limites de la partie,B, j ne comprends le raisonnement pour les trouver!
Pour ma primitive je n'ai pas fait de calcul, je sais que la primitive x= x²/2
la primitive de -2= -2x, par contre pour la primitive de 2ln(x) je ne sais pas!
Effectivement, je me suis trompée et j'ai trouvé la bonne dérivée: x-2-2ln(x), je suis très étourdie!
Je bloque toujours sur la partie B,les limites je comprends toujours pas pourquoi vous m'avez donné votre raisonnement, pour calculer la limite en 2 je fais f(2) et la limite en 20 je fais f(20)! mais après plusieurs calculs je comprends pas pourquoi f(2)
f(x) = xln(x)/(x-2)
Si x = 2
xln(x) = 2ln(2)
et (x-2) = 0
Donc f(x) tend vers 2ln(2)/0
soit de la forme a/h avec h qui tend vers 0
Or tu sais que lim 1/h quand h tend vers 0+ c'est +∞
comme 2ln(2) voisin de 1, 386 est > 0
alors la limite est + ∞
Si x = 20
xln(x) = 20ln(20)
et x-2 = 18
donc f(20) = 20ln(20)/18 = 10ln(20)/9
