Dresser le tablea de variation d'une fonction logarithmique et tracer sa courbe

Bonjour à tous, encore une fois je demande de l'aide pour un DM!!! Donc je remercie d'avance toutes personnes qui pourra m'aider!

Partie A:
Soit D la fonction définie sur [2;20] par :
D(x) = x - 2 - 2 ln (x)
a. Étudier les variations de la fonction D et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que la fonction D s'annule exactement une fois sur [2;20]. Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
c.En déduire le signe de la fonction D sur [2;20] et récapituler les résultats dans un tableau.

Partie B:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Les unités graphiques étant 1 cm dans l'axe des abscisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
Soit f la fonction définie sur ]2;20] par :
f (x) = x ln (x) / x-2

C désigne la courbe représentative de la fonction f.

a. Montrer que la dérivée f' de f a le même signe que D, sur ]2;20]. Étudier les variations de f, déterminer la limite de f en 2, puis dresser le tableau de variations.
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
c. Tracer la courbe C.

Partie
Soit g :[2; 20]→|R
x:→ 1/2x² -2x ln (x)

Montrer que g est une primitive de D sur [2; 20].
Soit I le nombre défini par : I= ∫20 16 D(x)dx
a. Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres ln 2 et ln 5
b. Donner la valeur de I arrondie à deux décimales

Partie A: Je sais faire la a. et b., par contre la c. je ne sais pas comment faire!

Bonjour,

Partie A,
Si tu as dressé le tableau de variation et indiqué dans quel domaine varie f(x) alors tu peux répondre à la question c).
Indique tes résultats pour a. et b.

Partie A:
a. D'(x)= x-2 / x
[0;2] inférieur et [2;20] supérieur donc D(x) décroissant sur [0;2] et croissant sur [2;20]. Mais avec ce tableau aucune valeur ne s'annule sur [2;20]??
Je comprends où je me suis trompé!

Après relecture de mon brouillon, je vois que je ne ma suis pas trompée, puis le reste de la partie est venu, tout simplement. Par contre, pour la partie B, la question 2, je ne vois pas comment faire!

salut Cookie
Citation
f (x) = x ln (x) /
(x-2
)
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
reformulons. la tangente à la courbe de f est parallèle à l'axe horizontal lorsque son coefficient directeur est égal à ...

or le coefficient directeur de la tangente est de façon générale aussi égal à ...

il faut donc étudier l'existence de solutions à l'équation ...

ça fait penser à un théorème de term.

Bonsoir,

Partie A
vérifie ton calcul de la dérivée et indique dans quel domaine varie f(x) si x varie entre [2 ; 20]

la tangente à la courbe de f est parallèle à l'axe horizontal lorsque son coefficient directeur est égal à 0
or le coefficient directeur de la tangente est de façon générale aussi égal à 0
ll faut donc étudier l'existence de solutions à l'équation f(x)=0!
Donc reprendre le théorème pour pouvoir calculer l'équation d'une tangente!
Mais je rencontre un petit problème, parce que j'hésite sur la dérivée de x ln(x) / x-2

Et puis une question qui ne se rapporte pas à cette exercice: comment résoudre un équation de la forme: ln(a-x) x ln(x- b) ≤0( car je ne vois aucune propriété qui y ressemble??!

Comment connaître le signe de f'(x)=(-x+2+2 ln(x))/(x-2)² ???

Bonjour,

Quel est l'intervalle d'étude ?

Utilise les résultats de la partie A
D(x) = x - 2 - 2 ln(x)
sur quel domaine varie D(x) ?

Bonjour,
C'est sur [2;20]
Mais dans la partie A je trouve les variations et pas le signe!

Dans la partie A, la question c est l'étude du signe de D(x).

Mais je ne vais pas avoir le même puisque la dérivée dans la partie B est l'inverse de D(x)!

Ce n'est pas l'inverse, mais l'opposé.

Donc ça veut dire que ça n'a pas le même signe!! Comment je trouve le signe si c'est l'opposé???

Quel est l'opposé de 5 ?
de - 3 ?

opposé 5 c'est -5 et -3 c'est 3! Mais je ne comprends pas pourquoi un opposé à le même signe!!

L'opposé de 5 c'est -5, donc ce n'est pas le même signe.

Indique tes résultats pour la partie A c).

D(x)<0 sur [2;5,4] et D(x)> sur [5,4 ; 20]

Cookie-mélo
D(x)<0 sur [2;5,4] et D(x)> sur [5,4 ; 20]

Donc f'(x) >0 si x appartient à ...
et f'(x) < 0 si x ....

Donc f'(x) >0 si x appartient à [2;5,4]
et f'(x) < 0 si x [5,4 ; 20].

Oui c'est correct.

J'aurais besoin d'aide désormais pour savoir comment résoudre f(x)=0 la question b de la partie B!!! Parce que je bloque!

Utilise les résultats de la question a. le tableau de variation.

Donc f(2)=0!
Mais oui j'avais oublier de vous demander, toujours dans la partie B j'ai un bug pour calculer les limites, parce que la fonction est défini dans mes limites et quand je calcul par exemple f(5,4)≈2,68 et f(20)≈3,32 mais comme ma fonction est décroissante sur [0;2] mais que f(2)<f(5,4)! comment je fais pour calculer les limites!
Dans la partie C, je trouve comme primitive, G= x²/2 -2x- 2xln (x)!

Quand x tend vers 2+ la limite de f correspond à celle de 1/x quand x tend vers 0+ donc ...

Partie B b) Quelles sont les variations de la fonction f ?

Pour la partie C indique tes calculs.

Quand x tend vers 2+ la limite de f correspond à celle de 1/x quand x tend vers 0+ donc la limite est égale à +∞
f(x) décroissante sur [0;2] et croissante sur [2; 5,4]
Il n'y a pas vraiment de calcul pour trouver la primitive.

Si tu peux calculer la primitive,
Pour ln(x) c'est une intégration par partie.

Par contre, j'ai pas trop compris pour les limites!
moi j'ai trouvé comme primitives
Dans la partie C, je trouve comme primitive, G= x²/2 -2x- 2xln (x),mais c'est pas bon!

Pour quelles limites ?

Pour la primitive, indique tes calculs pour que je vois ton erreur.

Pour les limites de la partie,B, j ne comprends le raisonnement pour les trouver!
Pour ma primitive je n'ai pas fait de calcul, je sais que la primitive x= x²/2
la primitive de -2= -2x, par contre pour la primitive de 2ln(x) je ne sais pas!

Pour la limite de f en 2, je t'ai indiqué la démarche.

Pour la primitive de ln(x) fais une intégration par parties ( si tu connais ?)

Mais la limite en 20 comment je fais pareil que pour la limite en 2
Pour la primitive je ne sais pas comment faire!

Pour x = 20, tu calcules f(20);

Pour la primitive, tu as vu en cours "Intégration par parties" ?

Noemi

Pour la primitive, tu as vu en cours "Intégration par parties" ?

J'ai trouvé mais je n'utilise pas ça dans mon cours, je ne connais! mais il y a pas une méthode plus simple pour trouver la primitive de x-2-2 ln(x)!

Tu peux vérifier que g est une primitive de D en calculant g'(x).

Oui mais quand je dérive je trouve x-2ln(x) au lieu de x-2-2 ln(x)! Comment je fais???

Indique ton calcul, tu te trompes dans la dérivée de -2xlnx.

Effectivement, je me suis trompée et j'ai trouvé la bonne dérivée: x-2-2ln(x), je suis très étourdie!
Je bloque toujours sur la partie B,les limites je comprends toujours pas pourquoi vous m'avez donné votre raisonnement, pour calculer la limite en 2 je fais f(2) et la limite en 20 je fais f(20)! mais après plusieurs calculs je comprends pas pourquoi f(2)

f(x) = xln(x)/(x-2)
Si x = 2
xln(x) = 2ln(2)
et (x-2) = 0
Donc f(x) tend vers 2ln(2)/0
soit de la forme a/h avec h qui tend vers 0
Or tu sais que lim 1/h quand h tend vers 0+ c'est +∞
comme 2ln(2) voisin de 1, 386 est > 0
alors la limite est + ∞

Si x = 20
xln(x) = 20ln(20)
et x-2 = 18
donc f(20) = 20ln(20)/18 = 10ln(20)/9

Mais pourquoi f(x) tend vers 2ln(2)/0??