détermination de réels d'un polynôme


  • A

    Bonjours je suis en première S et j'ai un exercice sur les polynômes sur lequels je bloque donc je voudrais votre aide le voici :

    Déterminer les réels r et s tels que le polynôme P défini par :

    P(x)= x4x^4x4 + rx³ + sx² + 12x + 4 soit le carré d'un polynôme Q .

    Voilà je vous demande un peu d'aide car ça fait environ une heure que j'essaye mais je ne suis arrivé a rien . Merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Pose Q(x) = x² + ax + b
    Calcule Q² et identifie les coefficients avec ceux de P


  • A

    J'ai mis au carré mais cela me semble bizarre je pense que je me suis trompé car j'obtient : x4x^4x4 + a²x² + b² + 2abx³ est ce possible ?


  • M

    Non :
    je ne vois pas d'où vient 2abx32abx^32abx3
    et il doit manquer des termes


  • M

    Suite du message :
    dans le calcul de (m+n+p)², tu dois avoir 9 termes dont certains se regroupent par paires : c'est une généralisation de (m+n)²
    Si tu n'y arrives pas : développe terme à terme.


  • A

    Oui je me doutais bien enfaite je sais pas comment faire pour le mettre au carré puisqu'il y a trois termes et généralement je le fait juste avec deux termes donc peux tu m'aider stp j'ai essayé justement terme à terme mais aprés que j'ai fait les deux premier je ne sais plus quoi faire


  • M

    (m+n+p)² = (m+n+p)(m+n+p)
    = m² + mn + mp + nm + n² + np + pm + pn + p² : 9 termes
    = m² + n² + p² + 2mn + 2mp + 2np : j'ai regroupé
    Dans ton calcul, m c'est x², n c'est ax, et p c'est b.
    A toi


  • A

    ok ça donne : x4x^4x4+b²+a²x²+2abx+2ax³+2bx² non ?


  • M

    Oui : regroupe les termes en x² : (a²+2b)x²
    Ensuite, compare avec P(x).
    Tu commences par trouver b ( attention : deux possibilités).
    Pour chacune, tu trouves a puis r et s.
    Tu obtiens ainsi deux polynômes P possibles.


  • A

    je dirais que b=2 ou b=-2
    avec b=2 on aurais : a= 3 r=6 et s=13

    et avec b=-2 on aurais : a=-3 r=-6 et s=5 est ce bon ?


  • M

    C'est juste.
    Mais attention à la rédaction ensuite : deux remarques :

    1. je t'ai fait chercher Q(x) sous la forme x² + ax + b : pourquoi ? à cause du terme en x4x^4x4 quand on élève au carré
      Mais j'aurais pu aussi te faire chercher Q(x) sous la forme -x² + ...
      Donc tu devrais obtenir au total 4 polynômes Q.
    2. Mais c'est sans importance car ils sont deux à deux opposés : deux polynômes opposés ont le même carré.
      Donc, il y a bien au total deux polynômes P possibles : ceux dont tu as trouvé les coefficients ( r et s ).

  • A

    Ok ok merci de ton aide je vais faire attention à la rédaction alors ! encore merci et peut être à une prochaine fois si j'ai de nouvelles difficultées


  • M

    Pas de problème.
    A+


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