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f(x) = g(x) -- identification : fraction rationnelle, décomposition en éléments simples |
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Envoyé: 04.01.2010, 19:51
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Voici un Exercice que je n'arrive pas à résoudre, je veux savoir comment faire, je ne comprend pas le cours de ma prof!
Voici l'exercice:
Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que f = g
f(x)=(x²+x+1)÷(x²-1) et g(x) = a + (b÷(x-1)) + (c÷(x+1))
Aidez-moi S'il vous plaît
modifié par : Zauctore, 05 Jan 2010 - 15:25
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Envoyé: 04.01.2010, 20:27
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Modératrice
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Bonjour
J'ai fait une fiche sur la méthode d'identification d'une fonction rationnelle
ici : http://www.math...ours-91.html
Tu la regardes et tu nous dis ce que tu trouves !
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Envoyé: 04.01.2010, 20:40
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Merci j'ai compris la leçon mais je n'arrive pas à résoudre avec mon équation... Tu veux pas le faire avec mon équation s'il te plaît comme exemple, au moins après je fait l'exercice 2 (qui est du même genre)
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Envoyé: 05.01.2010, 14:22
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s'il vous plaît un peu d'aide... 
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Envoyé: 05.01.2010, 14:49
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Modérateur
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Salut
tiens, je vais le faire d'une autre façon, celui-là !
mettre  = \frac{x^2+x+1}{x^2-1} "f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-1}") sous la forme 
1) déjà  et donc  .
2) reste  c'est-à-dire (x+1)} = \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} "\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}")
si on multiplie par  et qu'on fait tendre  vers +1, alors à gauche } "\frac{x+2}{(x+1)}") tend vers  et à droite }{x+1} "b + \frac{c(x-1)}{x+1}") tend vers  donc 
3) de même en multipliant par  et en faisant tendre vers -1, alors à gauche } "\frac{x+2}{(x-1)}") tend vers  et à droite }{x-1} + c "\frac{b(x+1)}{x-1} + c") tend vers  donc 
4) maintenant une vérification s'impose :  donne-t-elle bien en mettant au même dénominateur ?
La réponse est oui !
modifié par : Zauctore, 05 Jan 2010 - 14:58
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Envoyé: 05.01.2010, 15:18
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Modérateur
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Bon, bien classiquement en mettant tout au même dénominateur comme dans la fiche de Zorro... ça donne :
 +b(x+1) + c(x-1)}{x^2-1} "\small a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} = \frac{a(x^2-1) +b(x+1) + c(x-1)}{x^2-1}") car on a (x+1) = x^2 - 1 "\small (x-1)(x+1) = x^2 - 1")
c'est-à-dire x -a + b - c}{x^2-1} "a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1} = \frac{ax^2 + (b+c)x -a + b - c}{x^2-1}")
il reste à identifier les coefficients du numérateur avec ceux du numérateur de f(x) initialement donnés ; cela donne a = 1, b+c = 1 et -a + b - c = 1.
d'où b = 1-c et -1 + 1-c - c = 1 soit c = -0,5. d'où finalement b = 1,5.
modifié par : Zauctore, 05 Jan 2010 - 15:22
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