Congruences et nombres premiers


  • A

    Exercice1 Un nombre entier naturel N s'ecrit abc0 en base de 5 et abc en base de 12 , ou a , b et c sont des entiers naturels tels que 0<a<5 , 0≤ b <5 , 0≤ c <5 .

    1. Montrer que a +b ≡ 0 [4]
    2. en deduire les entiers a,b,c et N

    Exercice2

    1. le nombre 2^(11) - 1 est il premier ?
    2. Soit p et q deux entiers naturels non nuls.
      a- Montrer que 2^(p) ≡ 1 [2^(p) -1 ]
      b- En deduire que 2^(p*q) ≡ 1 [2^(p) -1]
      c- Montrer que 2^(pq) -1 est divisible par 2^(p) -1 et par 2^(q)-1
      3)Démontrer que si 2^(n) -1 est premier alors n est premier (on pourra raisonner par l'absurde) La réciproque est-elle vraie?

    Je n'ai pas du tout compris l'exercice 1
    Exercice2:
    1)jai trouvé que c'était un nombre premier car il n'est divisible que par lui meme et par 1
    2)
    Donc :
    2/2 ; 2^(p)/2^(p) ; 2^(p) -1/2^(p) -1
    Donc 2^p ≡1 [2^(p) -1]
    b- Je n'ai pas continué plus loin car je ne suis pas sur de ma question 2


  • B

    Exercice1
    Dire que N s'écrit abc0 en base
    5signifie que N=a*
    5^3+b*
    5^2+c*
    5^1+0*
    5^0
    Idem dire que N s'écrit abc en base
    12signifie que N=a*
    12^2+b*
    12^1+c*
    12^0

    Exercice2
    1°) 2047 n'est pas premier !
    2°)a) ce que tu as écrit n'a pas de sens


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