Bonjour,
Déjà répondu : utilise les formules de trigo :
cos p + cos q = ?
Mathtous
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Quand tu écris cos 1 : c'est 1 radian ?
Si oui, l'inégalité est fausse : vérifie l'énoncé.
Mathtous
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A moins qu'il s'agisse de √2/3 et pas de √2/2 ?
Donne l'énoncé complet et précis.
Mathtous
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Exercice: A l'aide d'Exel , contruire les 300 premiers points de la suite (Un)=cos(n).
La suite semble-t-elle convergente?
Justifier les égalités suivantes : U2n=2(Un)²-1 Et Un+Un+2=2cos(1)Un+1
Justifier l'inégalité suivante : racine de 2 sur 2 < cos(1) < racine de 3 sur 2
Montrer par l'absurde que (Un) diverge
Donne-moi les valeurs approchées de U1 à U5, afin de vérifier.
Mathtous
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N'écris pas "=" pour des valeurs approchées, mais "≈"
Tu as U1 = cos 1 ≈ 0.54
Or, √2/2 ≈ 0.7 et √3/2 ≈0.87
Tu vois bien que cos 1 n'est pas compris entre les deux.
Vérifie ces valeurs √2/2 et √3/2 dans ton énoncé.
Mathtous
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Si Un converge vers L , alors L vérifie: L + L = 2L.cos 1
d'où cos 1 = 1 : ce qui est faux.
Mathtous
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On part de Un + Un+2 = 2Un+1. cos 1
Si Un admet la limite L, cette limite vérifie la même égalité.
Mathtous
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de plus cette égalité n'est pas la bonne...
L vérifie L+L=2L.cos(1)+1
donc L = 1/(2-2cos(1))
en déduire avec l'encadrement sur cos(1) que L>1+√2/2
ce qui est en contradiction avec le fait que pour tout entier n : Un≤1
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Ce n'est pas cos 1 = 0 mais cos 0 = 1
On raisonne par l'absurde : si cela était vrai on aurait
L + L = 2L cos 1
d'où 2L = 2L cos 1
d'où cos 1 = 1 ce qui est faux ( on a vu que cos 1 ≈ 0.54 )
Donc l'hypothèse que Un converge est fausse : Un diverge.
Mathtous
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Exact pour la vérification de L ≠ 0 : on peut utiliser U2n=2(Un)²-1
Mais Heureusement : on raisonne par l'absurde ...
Mathtous
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Bah , on écrit comme on peut. C'est bien plus beau en Latex, mais aussi bien plus long.
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Je ne comprends pas bien :
pi/4 < 1 < pi/2 donc 0 < cos(1) < √2/2 ?
D'où viendraient 1/2 et √3/2 ?
Là non plus.
L'équation en L admet pour racines 1 et -1/2 ?
Mathtous
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Ce que tu dois faire c'est démontrer que L ≠ 0 afin de pouvoir simplifier par L dans l'égalité L+L = 2L cos(1)
Mathtous
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Un peu : je voulais juste montrer que je ne suis pas le seul à commettre des erreurs.
Merci de m'avoir signalé la mienne.
Mathtous
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Sévère !
Il aurait pu s'agir d'un oubli.
Mais puisque tu es calé en raisonnement, que penses-tu de celui-ci tiré du sujet : http://www.mathforu.com/sujet-11825.html :
?
Mathtous
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Exercice:
A l'aide d'Excel , contruire les 300 premiers points de la suite (Un) définie par Un=cos(n).
1°) La suite semble-t-elle convergente ?
2°) Justifier les égalités suivantes : U2n=2Un2-1 et Un+Un+2=2cos(1)Un+1
3°) Justifier l'inégalité suivante : 1/2 < cos(1) < √2/2
4°) Montrer par l'absurde que (Un) diverge.
Pour résumer :
1°) La suite (Un) ne semble pas convergente. (au sens où elle ne semble pas avoir de limite)
2°) A l'aide des formules trigo
3°) A l'aide de pi/4 < 1 < pi/3 et cos décroissante sur [pi/4;pi/3]
4°) On suppose que (Un) converge vers une valeur L
L vérifie les égalités suivantes : L=2L2-1 et 2L=2L.cos(1)
En déduire que L=1 ou L=-1/2 donc cos(1)=1
Aburde car cos(1)<√2/2<1
Donc la suite (Un) diverge.
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