Equation fonctionnelles

$∀(x,y)∈r2f(x2+y2)=f(x)f(y)\forall (x,y)\in r ^{2} f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$

On suppose que f(0)=0. QUe peut on endéduire pour f?
2)Montrer que s'il existe $x∈rx\in r$ tel que f(x)=0 alors f(0)=0
On suppose alors que f(0)=0. Que peut on en déduire pour f?
Soit g définie sur R+ par g(x)= $f(x)f(\sqrt{x})$ . g est elle continue sur R+? Vérifie t-elle une équation fonctionnelle? Si oui, laquelle (ou lesquelles)?
soit $φ\varphi$ définie sur R par
$φ(x)=g(x)six≥0\varphi (x)=g(x) si x\geq 0$
$φ(x)=1g(−x)\varphi (x)=\frac{1}{g(-x)}$ si x<0
Montrer que $φ\varphi$ est continue sur R et que $φ\varphi$ vérifie la meme equation fonctionnelle que g sur R entier.
En déduire la nature de $φ\varphi$ , de g et de f

Bonjour,
Voila le probleme sur lequel je boque. Pour la 1° question il me semble que f est constante égale à 0 car f(0)=f(0)² vérifiée ssi f(0)=1 ou =0
Pour la 2° j'ai aucune idée à l'exception de la 2° partie de la question où je pense que f vaut 1 et est constante. Je vous remercie d'avnce pour vos réponses.

solutions triviales : $f = 0$ et $f = 1$
solutions non triviales : $$f(x)=a^b$^{x2}$ avec $a>0$ et $b$ réel

Merci beaucoup !! j'arrive mieux maintenant pour le questions qui suivent !! Par contre, pourrais-tu en quelques mots m'expliquer comment tu as trouvé la solution non triviales??? merci d'avance

je suppose que tu cherches les fonctions continues f telles que ...

aussi la fin de la question 2) doit être : on suppose f(0)≠0. Que peut-on en déduire pour f ?

sur R+ g vérifie l'équation fonctionnelle $g (x + y) = g (x) . g (y)$
sur R phi vérifie la même équation fonctionnelle $p h i (x + y) = p h i (x) . p h i (y)$
donc pour tout réel x, $phi(x)=a^b^x$ avec a>0 et b réel