produit scalaire dans un cube

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	produit scalaire dans un cube
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sil2b	Envoyé: 25.12.2009, 20:09
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Bonjour, j'ai du mal avec cet exo. j'aurais besoin d'un coup de main svp. merci ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut) L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE) On designe par "a" un reel strictement positif. L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs) AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG. 1)a)calculer le produit scalaire EM.EL b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL). c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a²+2))/(1+a²) d)calculer l'aire du triangle ELM e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM) 2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM) a)demontrer que AM.AK=AP.AK b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)*AK Demontrer que alpha = a/(a²+2). En deduire que P appartient au segment [AK]. c)determiner les coordonnees de P d)Exprimer PK en fonction de AK En deduire que PK=(a²-a+2)/racine de(a²+2) 3)à l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre ELMK en fonction de a.


hitman	Envoyé: 25.12.2009, 21:36
Une étoile enregistré depuis: déc.. 2008 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 05.01.10	Bonsoir, Joyeux noel 1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL) = EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM² = EA² + AM² = 1 + a² de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL² = EA² + AL² = 1 + a² Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) donc 1 = (1 + a²)(1 + a²).cos(MEL) Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a²)² c) comme cos²(MEL) + sin²(MEL) = 1 donc sin²(MEL) = 1 - 1/(1 + a²)² = (a⁴ + 2a² + 1 - 1)/(1 + a²)² = (a⁴ + 2a²)/(1 + a²)² alors sin(MEL) = rad [(a⁴ + 2a²)/(1 + a²)²] = a.rad[a² + 2] / (1 + a²) d) l'aire du triangle ELM = produit vectoriel de EM avec EL = EM . EL .sin(MEL) = (1 + a²).(1 + a²). a.rad[a² + 2] / (1 + a²) = a(1 + a²).rad[a² + 2] unite d'aire e) Pour demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM) il suffit de demontrer que la droite (AK) est orthogonale a (EM) et a (EL) en effet : AK.EM = (AC + CK).(EA + AM) = AC.EA + AC.AM + CK.EA + CK.AM = 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0 donc (AK) est orthogonale a (EM) de meme AK.EL = (AC + CK).(EA + AL) = AC.EA + AC.AL + CK.EA + CK.AL = 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0 donc (AK) est orthogonale a (EM) par suite la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM) 2)a) AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK car (PM) est prthogonale a (AK) (par hypothese) b) On a AM.AK = AP.AK or AM.AK = AM.(AB + BG + GK) = AM.AB + AM.BG + AM.GK = a.1.1 + 0 + 0 = a comme AM.AK = AP.AK donc AP.AK = a alpha .(AK)² = a alpha = a / (AK)² or AK² = AB² + BK² avec BK² = a² + 1 (theoreme de Pythagore dans le triangle BCK rectangle en C) donc AK² = 1 + a² + 1 = a² + 2 d'ou alpha = a / (AK)² = a /a² + 2 comme 0 < a /a² + 2 < 1 et AP = (alpha) x AK donc P appartient au segment [AK]. c) AP = alpha AK = alpha (AD + DC + CK) = alpha(AD + AB + a.AE) donc P(alpha ; alpha ; a.alpha) ou encore P(a / (a² + 2) ; a / (a² + 2) ; a² / (a² + 2)) d) PK = PA + AK = -alpha AK + AK = (1 - alpha)AK (egalite vectorielle) donc PK = (1 - alpha)AK (egalite scaalaire en tant que segment) PK = (1 - a / (a² + 2)) . rad(a² + 2) = ((a² - a + 2) / (a² + 2)) . rad(a² + 2) = ((a² - a + 2).rad(a² + 2)) 3) Le volume du tétraèdre ELMK = aire du triangle (ELM) . PK = a(1 + a²).rad[a² + 2].((a² - a + 2).rad(a² + 2)) unite de volume A bientot !! Joyeux noel

sil2b	Envoyé: 25.12.2009, 21:57
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	merci beaucoup et joyeux noel également modifié par : sil2b, 25 Déc 2009 - 21:57

Zorro	Envoyé: 26.12.2009, 23:53
Modératrice enregistré depuis: oct.. 2005 Messages: 9006 Status: hors ligne dernière visite: 21.05.12	Bonjour, En effet le papa Noel il a été gentil avec toi , Pas le moindre début de commencement de recherche dans ton exercice , et le voilà résolu ! T'as plus qu'à recopier en essayant de comprendre , car recopier sans piger, cela ne sert à rien !

Ellri_	Envoyé: 09.01.2010, 14:49
enregistré depuis: janv.. 2010 Messages: 3 Status: hors ligne dernière visite: 13.01.10	J'espere que tu n'as pas encore tout recopié, le 1.b) et tout ce qui en dépend est faux :p Papa Noël a été gentil, mais il ne s'est pas relu :p EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2 EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2 Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) donc 1 = √(1 + a2) √(1 + a2).cos(MEL) Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a2)

sil2b	Envoyé: 10.01.2010, 17:09
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	au final qui a la bonne réponse?

Noemi	Envoyé: 10.01.2010, 17:31
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Bonjour, Il me semble que Ellri_ a raison.

Ellri_	Envoyé: 13.01.2010, 15:52
enregistré depuis: janv.. 2010 Messages: 3 Status: hors ligne dernière visite: 13.01.10	En fait, c'est dans un devoir du CNED ça non? :D

Ellri_	Envoyé: 13.01.2010, 16:04
enregistré depuis: janv.. 2010 Messages: 3 Status: hors ligne dernière visite: 13.01.10	D'ailleurs, le volume V d'un tétraèdre s'écrit V=(hauteur.aire base)/3 :)

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 13:47
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour reprendre cet exercice

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 20:35
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Bonsoir, Quelle question te pose problème ?

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 20:40
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Bonsoir, Quelle question te pose problème ? en fait je voudrais reprendre depuis le début parce que je n'ai pas compris grand chose. 1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL) = EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 pourquoi les produits scalaires EA.AL; AM.EA et AM.AL sont ils égal à 0?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 20:55
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux.

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 21:01
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Le produit scalaire de deux vecteurs est nul, si ses deux vecteurs sont orthogonaux. ok. 1)b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2 de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2 Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL) donc 1 = (1 + a2)(1 + a2).cos(MEL) Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a2)2 en fait, cos(MÊL)=1/(1+a²) ? car 1=√(1+a²)√(1+a²).cos(MÊL) ? modifié par : sil2b, 18 Jan 2010 - 21:03*

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 21:07
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL². Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée.

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 21:09
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Avec le théorème de Pythagore, tu as calculé EM² et EL². Et dans la formule du produit scalaire, tu as EM et EL, donc tu dois prendre la racine carrée. 1)b) oui. je ne comprend pas pourquoi les vecteurs AM² et AL² valent a² .?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 21:13
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE) donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires vect AB = vect i vect AD = vect j vect AE = vect k

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 21:36
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi L'espace est muni du repère orthonormal ( A, vect AB, vect AD, vect AE) donc vect AB , vect AD et vect AE sont les vecteurs unitaires vect AB = vect i vect AD = vect j vect AE = vect k ok. 1)d)comment fait on pour calculer l'air du triangle ELM ? je ne comprend pas la méthode de hitman

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 22:03
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	L'aire du triangle EML : 1/2 produit vectoriel (vect EM, vect EL) = 1/2 EM EL sin (MEL)

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 22:37
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ok. 2)a) comment faut il procéder?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 22:47
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Utilise la relation de Chasles

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 22:53
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Utilise la relation de Chasles on part de: AM.AK=(AP+PK).AK ?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 23:02
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	AM = AP + PM AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 23:07
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi AM = AP + PM AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK PM.AK=0, Comment sait qu'ils sont orthogonaux?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 23:13
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP.

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 23:19
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi P est le projeté orthogonal du point A sur le plan ELM, donc tout vecteur du plan est orthogonal au vecteur AP. ok. alors AP et AK sont des vecteurs confondus comme (AP) orthogonal à (ELM) et (AK) orthogonale à (ELM)?

Noemi	Envoyé: 18.01.2010, 23:42
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires. Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a) donc vect AM. vect AK = ..

sil2b	Envoyé: 18.01.2010, 23:52
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi C'est une hypothèse, les vecteurs AP et AK sont colinéaires. Vect AM (a; 0; 0) vect AK (1; 1; a) donc vect AM. vect AK = .. ...=a ?

sil2b	Envoyé: 19.01.2010, 19:49
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	2)b) est ce que je pourrais avoir quelques explications, merci

Noemi	Envoyé: 19.01.2010, 20:52
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	oui vect AM.vect AK = a×1 + 0×a + 0×1 =

sil2b	Envoyé: 20.01.2010, 19:53
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	j'ai repris la question 2)b), AP=λAK AM(a;0;0) AK(1;1;a) -AM.AK=AP.AK -AM.AK=a -donc AP.AK=a -comme AP=λAk alors : AM.AK=AP.AK =λAK.AK =λAK² -λAK²=a λ=a/AK² λ=a/(1+1+a)² λ=a/2+a² c'est correcte ?? (surtout la fin ?)

Noemi	Envoyé: 20.01.2010, 20:59
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Une erreur à la fin : λAK²=a λ=a/AK² λ=a/(1+1+a²) λ=a/(2+a²)

sil2b	Envoyé: 20.01.2010, 21:32
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Une erreur à la fin : λAK²=a λ=a/AK² λ=a/(1+1+a²) λ=a/(2+a²) a oui j'ai oublié de mettre la parenthèse. sinon, comment fait on pour montrer que p appartient au segment [AK] ?

Noemi	Envoyé: 20.01.2010, 21:38
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Tu démontres que a/(a²+2) < 1

sil2b	Envoyé: 20.01.2010, 21:47
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ?

Noemi	Envoyé: 20.01.2010, 22:03
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Tu as AP = λ AK Si λ compris entre 0 et 1 (exemple AP = 0,8 AK) , AP est plus petit que AK, donc P compris entre A et K Si λ >1 ( exemple AP = 2 AK), AP plus grand que AK, donc P n'appartient pas à [AK]

sil2b	Envoyé: 20.01.2010, 22:06
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	sil2b d'accord. mais pk il faut montrer que c'est inférieur à 1 ? ok. a>0 a²+2>0 a²+2>a donc a/(a²+2)<1 ? modifié par : sil2b, 20 Jan 2010 - 22:11

Noemi	Envoyé: 20.01.2010, 22:15
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	La question est en déduire que P appartient au segment [AK] Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK soit AP/AK < 1.

sil2b	Envoyé: 20.01.2010, 22:48
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi La question est en déduire que P appartient au segment [AK] Tu sais que les vecteurs AP et AK sont colinéaires, et comme a/(a²+2) > 0, donc les points A, P et K sont sur une même demi-droite Si le point P est compris entre A et K alors la distance AP < distance AK soit AP/AK < 1. ya pas une possibilité de montrer ça par des encadrements ?

Noemi	Envoyé: 20.01.2010, 22:56
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15898 Status: hors ligne dernière visite: 20.05.12	Que veux tu dire ? Si c'est montrer que : 0 < a /(a² + 2) < 1 alors oui