Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pendant les vacances. Je le trouve assez complexe car on ne nous donne pas directement l'expression de f(x)
voici l'exercice :
Données : pour tout x ∈[0;+infini[, f(x) * f'(x) = 1 et f(0) = 1 -> (1)
Dans la 1ère partie il faut déterminer des coordonnées de points avec la méthode d'Euler. Donc là pas de soucis.
Partie B :
On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0;+infini[
1.Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [0;+infini[.
2.On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel strictement positif tel que f(a)<0. En déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a]
3.Conclure.
Je vois comment il faut procéder pour faire cette partie (enfin je pense).
-Il faut calculer la limite en +infini, mais comme on a pas l'expression de f(x) je ne pense pas que ce soit possible.
-Ensuite il faut calculer f'(x) et trouver son signe mais même problème que pour la question précédente... On peut quand même voir que f'(x)=1/f(x) mais on ne connait pas le signe de f(x) donc on ne peut pas déduire celui de f'(x) ni faire le tableau de variation et donc pour faire la suite de l'exercice c'est compliqué.
En effet Noemi a raison , relis bien la question , on ne te demande pas de résoudre f(x)=0
Il faut apprendre à lire un énoncé et savoir faire la différence entre
""En déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a]"""
et
""En déduire une sol pour f(x) = 0""
Cette question va te permettre de conclure qu'il est imposible que certains f(x) soient négatifs. Car si c'était le cas , la fonction f s'annuelerait quelque part , ce qui est impossible d'après la question précédente.
On conclut donc que f(x) ne peut jamais être nul et jamais négatif donc f(x) est toujours .....
C'est un exo sur une démonstration en finesse qu'il faut assimiler !
... donc f(x) est toujours positif ! J'crois que j'ai compris ^^ , merci de votre aide en tout cas ! Je n'ai plus qu'à faire la Partie C, je vais y réfléchir et si je bloque, je vous reconsulterai sur ce même "topic".
Bonjour je reviens pour la partie C car je n'y arrive vraiment pas à par la question 1.
Partie C :
1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction u*u' sur cet intervalle.
2. En déduire que si f est telle que, pour tout x ∈ [0 ; + infini[ f(x)*f'(x)=1 alors il existe une constante C telle que pour tout x ∈ [0; +infini[ (f(x))² = 2x+C
3. On rappelle que f(0)=1. Déterminer l'expression de f(x) pour x réel positif.
4. En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3) f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenue dans la Partie A.
Pour la question 2, tu appliques le résultat de la question 1
f(x)*f'(x)=1
Par intégration cela donne
f(x)/2 = x + k avec k une constante
que l'on peut écrire f(x) = ...
Un raisonnement par l'absurde serait de supposer l'existence d'un réel a >0 tel que f(a)≥0 ...
Ici de la condition (1), on en déduit que pour tout réel x≥0, (f(x)>0 et f'(x)>0) ou (f'(x)<0 et f(x)<0)
Si on suppose qu'il existe un réel a>0 tel que f(a)<0,
on a donc pour tout réel x≥0, f'(x) < 0 (et f(x) > 0)
f est alors strictement décroissante sur R+ et en particulier sur [0,a].
Or f(0)=1 et f(a)<0, donc il existe au moins un réel b de [0;a] tel que f(b) = 0.
En contradiction avec f(x)>0 pour tout réel x≥0
Finalement on en déduit qu'il n'existe pas de réel a>0 tel que f(a)<0
autrement dit : f(x)≥0 pour tout réel x>0
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