Limites de suites : suites adjacentes

Hello tout le monde, nous venons de commencer le chapitre sur les limites de suites, et j'ai jamais été très familier avec les suites, voilà je suis sur un exo et je ne sais mais vraiment pas du tout comment répondre à la question suivante qui est la 1er de mon exo (:p) :
Soit les deux suites u et v définies par la donnée de $u_0$ et $v_0$ $u_0$ < $v_0$ ) et les relations de récurrence :
$u_{n+1}$ = $2u_n$ + $v_n$ )/3 et $v_{n+1}$ = $u_n$ + $2v_n$ )/3

Démontrer que la suite v-u est une suite géométrique.Donner la limite de cette suite.

Merci pour vos réponses !!

Bonsoir,

Détermine $v_{n+1}$ - $u_{n+1}$

salut

sans me lancer dans le détail des calculs, le principe est toujours le même dans ce genre d'exercice :

à l'aide de la définition, écris $V_{n+1}$ - $U_{n+1}$ puis, l'objectif étant d'obtenir un certain coefficient fois $V_n$ - $U_n$ il va falloir procéder à qq transformations pour simplifier l'expression et faire sortir ce coefficient.

doublon - pb de lenteur d'affichage !

Je trouve $u_n$ + $v_n$ )/3
Que faire avec ce résultat ? Je suis un peu perdu je m'en excuse...

Oui,

Si on écrit $w_{n+1}$ = $v_{n+1}$ - $u_{n+1}$
Alors $w_{n+1}$ = ..... $w_n$
Soit ....

Alors $w_{n+1}$ = $1/3)w_n$
Soit la suite v-u une suite géométrique de raison 1/3
Est-ce juste ??

Oui c'est la solution.

YEAAAH I GOT IT !!
Maintenant pour la limite mon raisonnement peu peut-être sembler être un petit peu tiré par les cheveux mais le voici : La limite de $w_n$ est 0 car la raison q=1/3 de la suite $w_n$ tend vers 0.

Oui la limite est 0 car la raison 1/3 < 1.

Bonne nuit

La question 2 est celle-ci : Prouver que la suite u est croissante et que la suite v est décroissante.
Il est assez tard et je n'ai pas trop envie de prendre votre temps, alors si cela vous conviens j'aimerai juste que vous me donniez la méthode pour déterminer la croissance de u et la décroissance de v.

La limite tend vers 0 et tu sais que $u_n$ < $v_n$
Compare $u_{n+1}$ avec $u_n$
et $v_{n+1}$ avec $v_n$

OK merci, désolé j'avais pas vu vôtre bonne nuit, merci encore et à très bientôt , Bonne nuit .