Etude simultanée de deux suites

Bonjour,

J'ai un petit souci pour une question sur les suites ,
on nous donne, a et b réels tels que 0 < a < b et les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=a et Vo=b et pour tout entier n, $U_{n+1}$ = (2UnVn) / (Un + Vn) et $V_{n+1}$ = (Un+Vn) / 2.

La question 1 nous permet de supposer que les termes sont tous positifs et que le produit VnUn est constant, egal à ab.
On nous demande alors de prouver que pour tout n, Un > 0 et Vn> 0 et que UnVn=ab.

Merci d'avance pour votre aide.
Loris

Bonjour,

Cherche à exprimer $V$ {n+1} $U</em>{n+1}$

Alors, j'arrive a quelque chose comme $V$ {n+1} $U</em>{n+1}$ = (UnVn)/ 2(Un+Vn) + 1 ?

Ah non , c'est égal à UnVn ?

Et oui,

Donc tu conclus .....

Si pour UoVo=ab alors pour tout n , UnVn=ab ?

Oui car $V$ {n+1} $U</em>{n+1}$ = $V$ _n $U_n$

ok ^^ merci beaucoup, et pour la premiere partie de prouver que Un et Vn sont strictement superieur a 0 ? Une idée ?

Merci

a et b étant strictement positifs
a+b ....
ab ....
Donc

d'ou UnVn est stricement positif donc Un et Vn sont strictement positif, mais le probleme, cest qu'on me demande ca avant de montrer que UnVn=ab ? ca ne pose pas de problemes ?

Merci en tout cas !

Non,
si tu calcules
$U_1$ ; $u_1$ = 2ab/(a+b) > 0
idem pour $V_1$ > 0

puis ....

D'accord, merci beaucoup !