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"morphisme" non unitaire ? |
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Envoyé: 03.12.2009, 17:49
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2009
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Bonjour à tous.
Jadis, les anneaux n’étaient pas nécessairement unitaires. Aujourd’hui, la plupart des auteurs le supposent.
De même, jadis un morphisme d’anneaux ( unitaires ) n’envoyait pas nécessairement l’élément neutre de la multiplication du premier sur le second. Lorsqu’il en était ainsi, on parlait de morphisme unitaire ou encore de morphisme d’anneaux unitaires. Aujourd’hui, la propriété semble sous-entendue lorsque l’on parle de morphisme ( d’anneaux ).
Simple question de convention dans les définitions, mais cela peut être gênant pour les vieillards, même ceux qui ne sont pas des vieillards maniaques.
Par prudence je me garderai donc de parler ici de « morphisme ».
Ce préambule étant achevé, voici le problème que je vous propose :
Trouver deux anneaux ( unitaires ) A et B, et une application f de A dans B telle que
∀x∈ A , ∀y∈A : f(x+y) = f(x) + f(y)
∀x∈ A , ∀y∈A : f(x.y) = f(x) . f(y)
Mais : f(1A) ≠ 1B
Où 1A désigne évidemment l’élément neutre de la multiplication dans A, et 1B l’élément neutre de la multiplication dans B .
Mathtous
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Envoyé: 04.12.2009, 10:56
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2009
Messages: 4289
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dernière visite: 24.07.10
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Aïe, j'ai oublié : f ne doit évidemment pas être l'application nulle ...
Bon courage.
Mathtous
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Envoyé: 05.02.2010, 00:12
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Une étoile
enregistré depuis: fév. 2010
Messages: 18
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dernière visite: 21.02.10
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bonsoir, je déterre ce vieu topic pour donner une réponse:
on prend une application \end{tabular}\right.$ "$\phi \left\{\begin{tabular}{ccc}\mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}^2 \\ n & \longrightarrow & (n,0)\end{tabular}\right.$")
en munissant  de la somme et du produit termes à termes
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Envoyé: 05.02.2010, 10:15
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2009
Messages: 4289
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dernière visite: 24.07.10
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Bonjour,
En effet, ça marche puisque Φ(1) = (1;0) alors que l'élément unité de Z² est (1;1).
Il y a aussi d'autres possibilités avec des anneaux Z/nZ.
Mathtous
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