"morphisme" non unitaire ?

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	"morphisme" non unitaire ?

mathtous	Envoyé: 03.12.2009, 17:49
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6296 Status: en ligne	Bonjour à tous. Jadis, les anneaux n’étaient pas nécessairement unitaires. Aujourd’hui, la plupart des auteurs le supposent. De même, jadis un morphisme d’anneaux ( unitaires ) n’envoyait pas nécessairement l’élément neutre de la multiplication du premier sur le second. Lorsqu’il en était ainsi, on parlait de morphisme unitaire ou encore de morphisme d’anneaux unitaires. Aujourd’hui, la propriété semble sous-entendue lorsque l’on parle de morphisme ( d’anneaux ). Simple question de convention dans les définitions, mais cela peut être gênant pour les vieillards, même ceux qui ne sont pas des vieillards maniaques. Par prudence je me garderai donc de parler ici de « morphisme ». Ce préambule étant achevé, voici le problème que je vous propose : Trouver deux anneaux ( unitaires ) A et B, et une application f de A dans B telle que ∀x∈ A , ∀y∈A : f(x+y) = f(x) + f(y) ∀x∈ A , ∀y∈A : f(x.y) = f(x) . f(y) Mais : f(1_A) ≠ 1_B Où 1_A désigne évidemment l’élément neutre de la multiplication dans A, et 1_B l’élément neutre de la multiplication dans B . Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.


mathtous	Envoyé: 04.12.2009, 10:56
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6296 Status: en ligne	Aïe, j'ai oublié : f ne doit évidemment pas être l'application nulle ... Bon courage. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

jaybee	Envoyé: 05.02.2010, 00:12
Une étoile enregistré depuis: févr.. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 21.02.10	bonsoir, je déterre ce vieu topic pour donner une réponse: on prend une application $\phi \left\{\begin{tabular}{ccc}\mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}^2 \\ n & \longrightarrow & (n,0)\end{tabular}\right.$ en munissant $\mathbb{Z}^2$ de la somme et du produit termes à termes

mathtous	Envoyé: 05.02.2010, 10:15
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6296 Status: en ligne	Bonjour, En effet, ça marche puisque Φ(1) = (1;0) alors que l'élément unité de Z² est (1;1). Il y a aussi d'autres possibilités avec des anneaux Z/nZ. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

mathtous	Envoyé: 28.11.2011, 10:31
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6296 Status: en ligne	Bonjour à tous, A mon tour je ressort ce vieux sujet. J'ai ici une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour qu'un morphisme d'anneaux envoie l'unité du premier sur celle du second. Morphisme unitaire d'anneaux. Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

mtschoon	Envoyé: 29.11.2011, 11:09
Modératrice enregistré depuis: févr.. 2011 Messages: 1368 Status: en ligne	Bonjour à tous , Peut-être un autre exemple. Utiliser pour A et B l'ensemble P(E) des parties de E , E étant un ensemble non vide. A=B=P(E) (P(E),Δ,∩) est un anneau unitaire , l'élément neutre de l'intersection ∩ est E Soit F une partie non vide de E , non égale à E : F ≠ E Soit f l'application de A dans B ( c'est à dire de P(E) dans P(E) ) , qui à tout X de l'ensemble A fait correspondre X ∩ F de l'ensemble B : f(X)=X ∩ F Avec la distributivité de ∩ par rapport à Δ , on démontre facilement que : ∀X∈A et ∀Y∈A f(XΔY)=f(X)Δf(Y) Avec l'associativite de ∩ , on démontre facilement que ∀X∈A et ∀Y∈A f(X∩Y)=f(X)∩f(Y) Les deux premières conditions sont réalisées ( je peux détailler ces démonstrations si quelqu'un le souhaite ) MAIS : f(E)=E∩F=F or F≠E donc f(E)≠E La troisième condition est réalisée.

mathtous	Envoyé: 29.11.2011, 14:52
Cosmos enregistré depuis: févr.. 2009 Messages: 6296 Status: en ligne	Bonjour, Ceci est un autre exemple de "morphisme non unitaire". Mais as-tu une autre condition suffisante que la mienne (B intègre), voire une CNS, pour que φ(1) = 1 ? Mathtous http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant : Mathématiques à bâtons rompus Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.

mtschoon	Envoyé: 29.11.2011, 17:21
Modératrice enregistré depuis: févr.. 2011 Messages: 1368 Status: en ligne	Non. Dans mon exemple , (P(E) , Δ , ∩ ) est non intègre ( car $\forall X \in P(E)\ \ ,\ X \cap \overline{X}=\emptyset )$ Merci Mathtous pour tes questions très interessantes. modifié par : mtschoon, 30 Nov 2011 - 12:59