système et equation dans N

je n'arrive pas à resoudre dans N:
l'équation: 5(x+y)²=147(x V y)

le système: x+y=84 et x V y=pgcd(x,y)²

Salut,
j'espère que ça pourra t'aider.

1/ équation: 5(x+y)²=147(x V y)

Supposons que x et y sont non nuls (x,y>0).
On pose d=pgcd(x,y), m=ppcm(x,y), a=x/d, b=y/d.
Alors on a pgcd(a,b)=1 et aussi md=xy=dadb => m=dab.

On remplace dans l'équation par x=da,y=db,m=dab :

5.d².(a+b)²=3.7².d.a.b => 5.d.(a+b)²=3.7².a.b

Etudions 5.d.(a+b)²=3.7².a.b :
soit p un nombre premier qui divise (a+b) alors (p² div 3.7².a.b) :

-si p=7, pas de problème;

-sinon p² div 3.a.b et, par suite, (p div a.b), dans ce cas (p div a) ou (p div b)
si par exemple (p div a), comme (p div (a+b) ), (p div b)
alors on aurait (p div a) et (p div b) ce qui contredit pgcd(a,b)=1 !!!

-si (7² div a+b), (7².7² div 3.7².a.b), (7² div 3.a.b), (7 div a.b), (7 div a)ou(7 div b),
de même que précédemment 7 diviserait pgcd(a,b)=1 !

Donc (a+b) admet un seul facteur premier possible: 7 avec multiplicité 1.
Donc a+b= 1 ou 7.
Et comme on suppose x,y>0 donc a,b>0, a+b>=2, on a a+b=7.

on obtient donc le système

|a+b=7
|5.d.7²=3.7².a.b

|a+b=7
|5.d=3.a.b

|a+b=7
|ab=(5/3).d

donc a et b sont des solutions entières de X²-7X+(5/3)d
le discriminant est (147-20d)/3,
comme on est dans le cas ou X²-7X+(5/3)d admet des solution entières,
(147-20d)/3 doit être un entier positif et carré parfait.

(147-20d) positif => (0 < d <= 7).

en faisant les essais on ne trouve qu'une solution pour d=6;

(147-20d)/3=9

donc les solutions pour a,b sont (7+3)/2=5 et (7-3)/2=2.

donc (x,y)=(30,12) ou (12,30).