[1ère S] Symétrie de courbes.

Bonjour,

Voici l'un des exercices de mon D.M. sur lequel je suis bloqué.

Soit $c_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $df=[−1;+∞[d_f = [-1 ; +\infty[$ par :

$f(x) = sqrt{(x+3)^2 - 4}$

Soit $c_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $dg=[0;+∞[d_g = [0 ; +\infty[$ par :

$g(x) = sqrt{x^2 + 4} - 3$

Vérifier que $f$ est bien définie sur $d_f$ et que $g$ est bien définie sur $d_g$ .

→ j'ai traité cette question.

Démontrer que $f$ est croissante sur $d_f$ et que $g$ est croissante sur $d_g$

→ j'ai traité cette question.

a. Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs, $\frac{a - b}{sqrt{a} + sqrt{b}}$ (ça, j'ai réussi à démontrer).

En déduire que la fonction $f - g$ est minorée par 3 sur $+\infty[$

→ ici, j'en arrive à : $\frac{6x + 1}{sqrt{(x+3)^2-4} + sqrt{x^2+4}}$ , il me faut démontrer que (f-g)(x)-3>0, pour cela j'ai commencé par dire que le dénominateur étant la somme de deux facteurs positifs et ne pouvant être nul était strictement positif, mais je ne vois pas comment continuer ma démonstration.

3 est-il le minimum de $f - g$ sur $+\infty[$ ?

b. En déduire la position relative des courbes $c_f$ et $c_g$ sur $+\infty[$ .

ans un repère orthonormé $\vec{i} ; \vec{j})$ d'unité graphique 2 cm, construire $c_f$ , $c_g$ et la droite $δ\delta$ d'équation $y = x$ .
Soit $m (x; y)$ un point du plan et $m^{'} (x^{'}; y^{'})$ le symétrique de M par rapport à l'axe $δ\delta$ .

a. Démontrer que $x^{'} = y$ et $y^{'} = x$ .

b. Démontrer que : si M appartient à $c_f$ , alors M' appartient à $c_g$ .

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Le dénominateur est la somme de deux nombres positifs, et le numérateur ?

mathtous
Bonjour,
Es-tu sûr de ton 6x+1 ? vérifie tes calculs
Le dénominateur est la somme de deux nombres positifs, et le numérateur ?

Oui, normalement mon 6x+1 au numérateur est bon, je viens de vérifier.

Le numérateur, je ne vois pas quoi en dire. Je sais que l'ensemble de définition de f-g est ici [0;+∞[, donc tous x ≥ 0 ?

Oui. Et 6x+1 aussi

D'accord, merci.

Donc, 6x+1 ≥ 0 et $sqrt{(x+3)^2-4} + sqrt{x^2+4}$ > 0

Donc, $6x+1sqrt(x+3)2−4+sqrtx2+4\frac{6x + 1}{sqrt{(x+3)^2-4} + sqrt{x^2+4}}$ > 0, c'est ça ?

Si tu veux une inégalité stricte, il faut écrire 6x+1 > 0
Si tu écris seulement 6x+1 ≥ 0 , tu dois écrire aussi ≥ à la fin.
Ici, c'est sans importance mais il faut être cohérent.

Oui, mais l'ensemble de définition est [0;+∞[, donc je ne peux pas dire que 6x+1 > 0, pourtant il le faudrait...

Ah si !

x ≥ 0
⇔ 6x ≥ 0
⇔ 6x+1 ≥ 1
⇔ 6x+1 > 0

Pour la position relative des courbes, est-ce que cela suffit comme justification de dire que si f(x) > g(x) + 3 alors Cf est au-dessus de Cg ?

x ∈[0 ; +∞[ donc x ≥ 0
donc 6x ≥ 0
donc 6x + 1 ≥ 1
donc 6x+1 > 0

Lol, voilà !

Pour la position relative des courbes, est-ce que cela suffit comme justification de dire que si f(x) > g(x) + 3 alors Cf est au-dessus de Cg ?

Oui, car si f(x) > g(x) + 3 alors f(x) > g(x)

Merci !

Pour la question 5)a., je bloque. J'avais d'abord utilisé le produit scalaire, que nous n'avons pas encore vu, le professeur m'a dit qu'il y avait une autre méthode qui utilisait les propriétés des transformations dans le plan.

En cherchant les coordonnées du milieu de [MM'] j'arrive à : x + x' = y + y' mais je ne vois pas comment démontrer que x' = y et que y' = x ?

Il y a en effet de nombreuses méthodes.
Soit M(x;y) et soit N(y;x) ( je ne l'appelle pas encore M' ).
Si M et N sont confondus, x = y : M = N est sur Δ.
Sinon, démontre que Δ est la médiatrice de M et N.

Mais on ne cherche pas à démontrer que M et M' sont confondus, si ?

$fichier math$

Non : M et M' ne sont pas, en général, confondus. Mais ils pourraient l'être c'est pourquoi je l'ai envisagé. Si ça te trouble, laisse tomber pour le moment : démontre que Δ est la médiatrice de M et N

D'accord, alors :

On sait que M' est le symétrique de M par rapport à $δ\delta$ donc le milieu de [MM'] est situé sur l'axe de symétrie $δ\delta$ . Ce milieu est le point de coordonnées :

$i(x+x′2;y+y′2)i(\frac{x + x'}{2} ; \frac{y + y'}{2})$ . Or $\in \delta$ , donc :

$⟷x+x′=y+y′\frac{x + x'}{2} = \frac{y + y'}{2} \ \longleftrightarrow x + x' = y + y'$

Après, je ne vois pas comme prouver que $δ\delta$ ⊥ $(m m^{'})$

Il y a plus simple : Si M et M' sont symétriques par rapport à Δ, O est équidistant de M et M' : OM = OM' : cela te fournit une seconde équation.

D'accord, donc si OM = OM' le triangle OMM' est isocèle en O.

Donc dans ce triangle, on pose I milieu de [MM'] :

Comme OM = OM', alors (OI) est la médiane issue de O.

Or dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal est confondue avec la médiatrice relative au côté opposé à ce sommet.

Donc (OI) est la médiatrice relative à [MM'].

Suis-je sur la bonne voie ? ^^

Non : tu tournes en rond : cela ne te fournit aucun nouveau renseignement sur x' et y' .
Calcule OM² en fonction de x et y
Puis OM'² en fonction de x' et y' .
Ecris que les deux résultats sont égaux.

Alors :

OM² = x² + y²
OM'² = x'² + y'²

Or, comme vu précédemment OM = OM', donc x² + y² = x'² + y'².

Faut il maintenant que je résolve le système

$\left{ \ \begin{array} \ x^2+y^2 = x'^2+y'^2 \ \ x+x' = y+y' \ \end{array} \ \right.$

?

Oui, mais pour que ce soit simple, écris autrement la première équation :
x²+y² = x'² + y'²
donc x²- x'² = ... tu pourras factoriser et utiliser ainsi l'autre équation.

Ok, j'ai donc une nouvelle équation : x - x' = y' - y

Donc un nouveau système :

$\left{ \ \begin{array} \ x - x' = y' - y \ \ x + x' = y' + y \ \end{array} \ \right.$

Remarque que l'équation x-x'= y'-y pouvait être obtenue en écrivant que le vecteur MM' est perpendiculaire au vecteur (1;1) qui définit Δ.
La méthode que je t'ai proposée n'est donc finalement pas plus simple.
Qu'importe : avec ces deux équations tu obtiens bien x' = y et y' = x.

Au fait, tu n'as pas répondu à la question 3 ?

Si, j'ai trouvé que 3 était minorant de f-g sur [0;+∞[ mais que ce n'était pas le minimum (inégalité stricte).

Concernant le système, je n'arrive pas à en déduire que x' = y et que y' = x ...

x-x' = y'-y
x+x' = y+y'

ajoute : x-x' + x+x' = ...

Merci beaucoup !

De rien.
Tu sais faire la dernière question ?

Je l'ai faite oui :

Si $\in c_f$ alors, $y = f (x)$
Si $\in c_g$ alors, $y^{'} = g (x^{'})$

Et, y = f(x)
⇔ y' = g(x') (j'ai prouvé cela par le calcul en remplacant y par x' et x par y'.

Et j'ai conclus :

y = f(x) ⇔ y' = g(x')

Donc si M $∈cf\in c_f$ alors M' $∈cg\in c_g$

Citation
j'ai prouvé cela par le calculD'accord : attention aux élévations au carré : justifier les équivalences en indiquant que les nombres utilisés sont tous positifs.

Je ne vois pas où et comment je dois prouver cela, j'ai fait :

$y = f (x)$
⇔ $y = sqrt{(x+3)^2 - 4}$
⇔ $x' = sqrt{(y'+3)^2 - 4}$
⇔ $x'^2 = (y'+3)^2 - 4$
⇔ $x'^2 + 4 = (y'+3)^2$
⇔ $sqrt{x'^2 + 4} = y' + 3$
⇔ $sqrt{x'^2 + 4} - 3 = y'$
⇔ $y^{'} = g (x^{'})$

Quand tu passes de x' = √((y'+3)²-4) à x'² = ... tu élèves bien au carré , et en plus tu écris que les deux égalités sont équivalentes : ce qui est vrai uniquement parce que x' est positif.
Tu fais la même chose plus loin ( en prenant cette fois les racines carrées ) : le raisonnement est le même : les deux égalités sont équivalentes parce que y'+3 est positif

Comment prouver que y'+3 > 0 ?

Pour x' > 0, j'ai dit que, comme y > 0, alors x' >0.

Bonjour,

Qui te l'a donné ton schéma de 16:31 ?

Citer ses sources , cela se fait !

Rebonjour,
Citation
Comment prouver que y'+3 > 0 ?

Pour x' > 0, j'ai dit que, comme y > 0, alors x' >0.Pareil : y'+3 = x+3 donc positif.