Résoudre un problème à l'aide des formules sur la fonction cube

Bonjour tout le monde, je reviens vous voir après un temps assez long d'absence ( merci j'ai eu 15,5 à mon précédent dm grâce à vous ^^ ) pour vous poser quelques questions. Mon professeur nous a donné un exercice en nous prévenant qu'on y arriverait pas donc c'est un défi plus ou moins impossible à réaliser et j'aimerai lui clouer le bec ^^.

Enoncé : Dans le plan mun d'un repère orthonormé ( O,i $→^\rightarrow$ ,j $→^\rightarrow$ ), on note C la courbe représentative de la fonction cube.
Démontrer que trois points A, B et C deux à deux distincts de la courbe C sont alignés si, et seulement si l'isobarycentre de ces trois points est sur l'axe des ordonnées.

Il nous a stipulé en indication qu'on pouvait se servir de la relation ( x³ - y³ ) = ( x - y )( x² + xy + y² ) étudiée précédemment et également en rapport avec la colinéarité.

Merci par avance de m'aider et de répondre dans l'après midi ( je pensais y arriver avant mais je bloque et c'est pour demain : / ).

Bonjour,

Ecris la relation vectorielle pour le barycentre et la colinéarité des vecteurs AB et AC.

ah ah j'ai trouvé je pense
AB $→^\rightarrow$ : ( b - a ; b³ - a ³ )
AC $→^\rightarrow$ : ( c -a ; c³ - a³ )

Apres on montre avec le produit en croix que les vecteurs AB et AC sont colinéaires et donc A,B et C alignés. C'est bon ?

Tu as une première relation.

Tu dois utiliser ensuite le point G.

Hum je crois avoir trouvé une façon mais sans utiliser le point G vous pouvez me dire si c'est juste ?

Supposons qu'on ait ceci:
(b-a)(c^3-a^3)=(c-a)(b^3-a^3)
il faudrait qu'on ait cela:
a+b+c=0
pour prouver que l'abscisse de l'isobar est nulle et donc qu'il est sur l'axe des ordonnées
ensuite cela induit que

(c²+ca+a²) - (b² + ba + a²)=0

c²-b²+ac-ab = 0
(c-b)(c+b)+a(c-b) = 0
(c-b)(a+b+c) = 0
a+b+c = 0 (on divise par c-b qui est différent de 0 car a<b<c )

j'ai un peu plus détaillé dans ma copie

EDIT : ah pardon j'avais utilisé un barycentre I avec une relation comme celle ci I( (a+b+c)/3 ; (a^3+b^3+c^3)/3)

Si tu n'utilise pas le point G, comment peux-tu en déduire que son abscisse est nulle ?

Applique la relation avec AG et AB.

Hum je ne comprends pas où vous voulez en venir.
J'ai démontré l'alignement des points A B C et j'ai calculé avec l'aide de la relation que l'on doit utiliser que a + b + c = 0 donc que l'abscisse est nulle et que l'isobar est bien sur l'axe des ordonnées que dois-je faire de plus ? ou que n'ais je pas fait en règle ?

C'est juste, je n'avais pas vu la modification avec les coordonnées du barycentre.

Ah ^^ et du point de vu du raisonnement j'arrive à conclure sur le problème posé initialement donc?

Oui c'est correct.

Ok bah merci beaucoup Noémi
Je passerai si je trouve une minute vous dire ma note