Problème sur un DM de géométrie dans l'espace


  • L

    Bonjour,

    Voilà l'exercice qui me pose problème :
    Soit 5 points A,B,C,D et E de l'espace tel que be⃗\vec{be}be= 2bc⃗\vec{bc}bc et ae⃗\vec{ae}ae = 3 ad⃗\vec{ad}ad.
    Soit le point M tel que me⃗\vec{me}me = mc⃗\vec{mc}mc+md⃗\vec{md}md
    Les vecteurs am⃗\vec{am}am, ad⃗\vec{ad}ad et bc⃗\vec{bc}bc sont-ils coplanaires ?

    Merci d'avance pour votre aide, j'ai tourné le problème dans tous les sens je n'y arrive vraiment pas :rolling_eyes: !

    Cordialement.

    Louise


  • K

    am⃗=ae⃗+em⃗=3ad⃗+cm⃗+dm⃗\vec{am} =\vec{ae} +\vec{em} =3\vec{ad}+\vec{cm} +\vec{dm}am=ae+em=3ad+cm+dm
    donc:
    am⃗=3ad⃗+ca⃗+da⃗+2am⃗\vec{am}=3\vec{ad} +\vec{ca} +\vec{da} +2\vec{am}am=3ad+ca+da+2am
    (relation de chasles)
    donc en regroupant:
    −am⃗=2ad⃗−ac⃗-\vec{am} =2\vec{ad} -\vec{ac}am=2adac
    soit
    am⃗=−2ad⃗+ac⃗\vec{am} =-2\vec{ad} +\vec{ac}am=2ad+ac
    on a donc bien une relation de coplanarité...mais pas avec les bons vecteurs!
    désolée, je m'y remets! 😄


  • K

    Donc: am⃗=ad⃗+dm⃗\vec{am} =\vec{ad} +\vec{dm}am=ad+dm
    or d'après la première égalité on a C milieu de [BE]
    donc bc⃗=ce⃗\vec{bc} =\vec{ce}bc=ce
    de plus d'après la troisième égalité MDEC est un parallélogramme
    donc ce⃗=md⃗\vec{ce} =\vec{md}ce=md
    donc bc⃗=md⃗\vec{bc} =\vec{md}bc=md
    et am⃗=ad⃗−bc⃗\vec{am} =\vec{ad} -\vec{bc}am=adbc
    on a bien une relation de coplanarité et avec les bons vecteurs cette fois!

    Remarque: la deuxième relation de l'énoncé est totalement inutile pour cette question

    On peut envisager un autre raisonnement:
    les points M, C ,E ,D sont dans un même plan (P) d'après la troisième égalité
    B est sur la droite (CE) donc B est aussi dans (P)
    A est sur la droite (DE) donc A est aussi dans (P)
    Les vecteurs am⃗,ad⃗,bc⃗\vec{am} , \vec{ad} , \vec{bc}am,ad,bc sont tous construits à partir de points de (P) donc sont coplanaires...et ça a l'avantage d'utiliser toutes les hypothèses 😄


  • L

    Mercii beaucoup pour ta réponse ! Je savais vraiment plus quoi faire !
    Merci énormément 😃
    Louise


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