exercice PGCD

Bonsoir à tous, je bloque vraiment sur un exercice dont voici son intitulé:

n désigne un entier naturel impair

a=n²+3n b=n²+5n+6

a) factoriser a et b

b) determiner PGCD(a,b) en fonction de n

Merci d'avance à tous pour votre aide, ce chapitre me tue vraiment..

Salut,

As-tu factorisé ?

oui a=n(n+3) et b=n(n+5)+6
mais pour b c'est faux non?

Oui la factorisation du b est fausse.

Tu dois factoriser selon la formule de factorisation du trinôme :
ax² $+ b x + c = a (x - x$ _1 $x+x_2$ )

a mais comment tu trouve x1 et x2 c'est grace a delda?
Ici delta=25-24=1
donc x1=-3 et x2=-2
donc on a b=(n+3)(n+2)
c'est ça non???
de là on sait que a et b sont divisible par (n+3)
mais comment puis-je trouver leur PGCD?

Développe si tu as un doute !

PGCD(a,b)=PGCD( n(n+3) , (n+3)(n+2) )

Utilise la propriété PGCD(ka,kb)=k.PGCD(a,b)

d'accord ma factorisation semble correcte
et de là je sais que (n+3) est un diviseur commun à a et b
mais ce n'est pas forcément le plus grand commun diviseur alors comment puis-je le trouver?

On a posté en même temps et tu n'as pas lu ma réponse précédente rectifiée (désolé).

d'accord merci. Donc on a PGCD(a,b)=(n+3)PGCD(n,n+2)
et le PGCD de (n,n+2) est ???
n=(n+2)1 -2
n+2=(-2)(-1)+n
...

j'arrive pas à continuer
je ne trouve pas le PGCD de (n,n+2)

PGCD(n,n+2)=PGCD(n,2) non???
donc PGCD(a,b)=(n+3)PGCD(n,2)
???

zonflodul
PGCD(n,n+2)=PGCD(n,2) non???
donc PGCD(a,b)=(n+3)PGCD(n,2)
???Oui !
Il ne reste plus qu'à trouver le PGCD(n,2).

Mais PGCD(n,2) c'est???
n=20+n
2=n0+2
....
ça ne marche pas?

je ne trouve pas le dernier reste non nul?

2 est un nombre premier

Propriété :
Si p est un nombre premier,
PGCD(n,p)=1 ou PGCD(n,p)=p selon que n est un multiple de p ou non.

Dans le cas présent, il faudra distinguer 2 cas : n est pair ou n est impair.

dans ce cas on doit faire PGCD(n,2)=1
ou PGCD(n,2)=2
alors si n est pair on a n=2k et si n est impair on a n=2k+1
donc on a 3cas PGCD(n,2)=1 ; PGCD(2k,2)=2 et PGCD(2k+1,2)=2
c'est ça???

enfait je dois voir si n est un multiple de 2 ou non donc si n est pair ou impair
???
mais comment puis-je savoir ce qu'est n?

Si n est pair alors PGCD= ...
Si n est impair alors ...

si n est impair on a :
a=(2k+1)²+3(2k+1) = 4k²+4k+1+6k+3=4k²+10k+4=2(2k²+5k+2)
et b=(2k+1)²+5(2k+1)+6=4k²+4k+1+10k+5+6=4k²+14k+12=2(2k²+7k+6)

et si est pair on a :
a=(2k)²+3(2k)=4k²+6k=2(2k²+3k)
et b=(2k)²+5*2k+6=4k²+10k+6=2(2k²+5k+3)
Donc dans les 2 cas n est un multiple de 2
c'est ça?

c'est une propriété??
si n est pair alors PGCD(n,2)=???

On en reparle demain, ok.
T'as plus les yeux en face des trous

Tout est écrit dans mon post 03.11.2009, 00:46

je suis d'accord avec toi!
mais le problème c'est que je ne sais pas c'est si n est un multiple de 2 ou non

ah!!!!! je dois dire si n est impaire on a PGCD(n,2)=1
alors PGCD(a,b)=n+3
et si n est pair on a PGCD(n+2)=2
alors PGCD(a,b)=2n+6
c'est ça non?

merci beaucoup bonne nuit a demain!

zonflodul
ah!!!!! je dois dire si n est impaire on a PGCD(n,2)=1
alors PGCD(a,b)=n+3
et si n est pair on a PGCD(n+2)=2
alors PGCD(a,b)=2n+6
c'est ça non?Oui ! C'est bon.

Bonjour,

L'énoncé est clair : "n désigne un entier naturel impair" ....

En effet ...

merci beaucoup a vous tous donc là mon exercice est fini???
on a PGCD(a,b)=n+3 c'est çà???

a bientot