Rien de plus banal que les suites en TS mais la encore, je ne m'en sors pas. A force je commence a me demander si je n'aurai pas du choisir une autre section... Bref, j'aurai (encore) besoin d'aide pour un exercice qui me parait assez compliqué.
Vos idées, indices, réponses ici ou a mon adresse mail: sarahlynnwagner@yahoo.fr
Pour ce qui est du 1. pour étudier les variations, pas de problème mais pour la démonstration je ne comprends pas. Le 2.a) aussi ca va encore même si j'ai du mal, c'est après que ça bloque! Voila donc l'exo:
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0;2] par:
f(x)= (2x + 1)/(x + 1)
1. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0;2].
Montrer que si x app/ [1;2] alors f(x) app/ [1;2].
2. (un ) et (vn ) sont deux suites définies sur N (entiers naturels) par:
u0 =1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f(un )
v0 =2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f(vn )
a) Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0;2].
Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites un et vn en laissant apparents tous les traits de construction. A partir de ce graphique, que peut on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites un et vn ?
b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que:
Pour tout entier naturel n, 1 <= vn <= 2
Pour tout entier naturel n, vn+1 <= vn
On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que:
Pour tout entier naturel n, 1 <= un <= 2
Pour tout entier naturel n, un <= un+1
c) Montrer que pour tout entier naturel n:
vn+1 - un+1 = (vn - un ) / ((vn +1)(un +1))
En déduire que pour tout entier naturel n, vn - un >= 0 et:
vn+1 - un+1 <= 1/4 (vn - un ).
d) Montrer que pour tout entier naturel n,
vn - un = (1/4)n
e) Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un même réel (alpha). Déterminer la valeur exacte de (alpha). /pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.html" title="[img]http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.jpg" alt="[url=http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.html][img]http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.jpg" />" target="_blank">[img]http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.jpg" alt="[url=http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.html][img]http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.jpg" />[/IMG]
Pour y voir plus clair:
http://pix.nofrag.com/7f/0b/d712ef8f79797bac96f4a79ec1d2.html
1) tu trouves f croissante sur [0,2]
en calculant f(1) et f(2) on va pouvoir encadrer f(x) sur [1,2]
2) la trace de Un sur le graphique représentant f est un grand classique faut-il l'avoir vu au moins une fois !
Il faut tracer la droite y=x
On part de U0=1 pour calculer U1 on trace verticalement pour lire f(U0) ; cette valeur ne peut être lue de façon rigoureuse pour pouvoir calculer son image par f
Pour pouvoir le faire on reporte cette valeur sur la droite y=x en traçant horizontalement le point d'intersection a pour coordonnées (U1;U1)
Pour avoir U2 on trace verticalement pour trouver U2=f(U1), pour continuer on trace horizontalement jusqu'à la doite y=x
Les points montent en s'approchant de l'intersection entre la courbe représentant f et la droite
En faisant idem pour Vn on voit que les points descendent pour s'approcher du même point qui par le calcul a pour abcsice (1 + 5 ) / 2
Voici un bon départ à toi de traviller un peu
Avant toute chose, ce n'est pas parce que l'on rencontre quelques difficultés dans un domaine que l'on doit se résigner et abandonner celui-ci.
On ne fait pas grand'chose sans effort. On n'aurait d'ailleurs pas de mérite à réussir sans fournir trop d'effort.
Ne te décourage donc pas, Sarah !
La fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 2].
En effet par exemple, on a
f(x) = 2 - 1/(x+1)
ce qui permet d'établir la stricte croissance sans dériver.
Ceci se traduit par définition par
quels que soient a, b pris dans [0 ; 2], si a < b, alors f(a) < f(b).
Or, ici, on a f(1) = 3/2 et f(2) = 5/3.
Donc pour tout x compris entre 1 et 2, on a
1 < f(1) < f(x) < f(2) < 2.
Ceci montre que pour tout x app/ [1 ; 2], on a f(x) app/ [1 ; 2]
On a v0 = 2 donc v1 = f(2) = 5/3 et on a bien 1 < 5/3 < 2.
Supposons que pour un certain rang n >= 1, on ait 1 < vn < 2.
D'après les résultats de la [B]question 1[/B], on en déduit (par croissance de f, et par le fait que l'image de [1 ; 2] est fcontenue dans [1 ; 2]) que
1 <= f(1) < f(vn < f(2) <= 2
C'est-à-dire que 1 <= vn+1 <= 2.
Ainsi, la propriété est héréditaire ; la récurrence étant fondée, ceci démontre la propriété
[B]pour tout entier n, on a 1 <= vn <= 2[/B].
Il s'agit ensuite d'établir que la suite (vn) est décroissante.
On a vu que v1 = 5/3 < 2 = v0.
Supposons que pour un certain rang n, on ait
vn+1 <= vn.
Par le fait que la suite est à valeurs dans [1 ; 2] et puisque f est croissante sur cet intervalle, on en déduit que
vn+1 = f(v n) <= f(v n) <= v n+1.
En effet, une fonction croissante appliquée aux deux membres d'une inégalité conserve le sens de celles-ci.
Par récurrence, on a ainsi montré que pour tout entier n, on a vn+1 <= vn .
Il faut se farcir un peu de calcul ici :
vn+1 - un+1 = f(v(n) - f(u n)
= (2v n + 1)/(vn + 1) - (2u n + 1)/(un + 1)
= (2unvn + 2vn + un + 1 - 2unvn - 2un - vn - 1 )/((vn +1)(un +1))
=(vn - un)/((vn +1)(un +1))
en mettant au même dénominateur.
Puisque un et vn sont positifs, ceci montre que
vn+1 - un+1 a le même signe que .
Puisque v0 - u0 = 2 - 1 > 0, une rapide récurrence montre que pour tout n, vn - un est positif.
On a vu que pour tout entier n, on a un et vn qui sont supérieurs à 1 (et tous les deux positifs).
Les propriétés de l'inverse montrent que
1/(un + 1) <= 1/2 et 1/(vn + 1) <= 1/2.
Ainsi, on a, pour tout n
vn+1 - un+1 <= (vn - un ) foi/ 1/2 foi/ 1/2 = 1/4 (vn - un). CQFD
Enfin, on a donc la succession d'inégalités
vn - un <= 1/4 (vn-1 - un-1)
<= 1/4 foi/ 1/4 (vn-2 - un-2) = (1/4)^2 (vn-2 - un-2)
<= ... ([I]c'est une récurrence qui se dissimule derrière ces ...[/I])
<= (1/4)n (v0 - u0) = (1/4) n . Voilà
Je te laisse finir proprement l'exercice :
il s'agit de voir que les deux suites (un) et (v n) sont adjacentes et que la limite de la différence de leurs terme tend vers 0 (suite géométrique de raison 1/4).
Ainsi, elles sont convergentes de même limite.
Puisque ce sont deux suites récurrentes, leur limite commune est le nombre qui est solution de l'équation
f(x) = x,
que je te laisse résoudre tranquillement.
Tu trouveras qu'il y a deux solutions
(1+5)/2 et (1-5)/2,
dont une seule est dans le "bon" intervalle.
Z, auctore.
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