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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Nombres complexes et géométrie

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Anonyme
Envoyé: 16.10.2005, 23:01
Utilisateur non enregistré Bonjour, j'ai quelques problèmes avec les nombres complexes lorsqu'on y applique la géométrie. Je n'y comprends plus rien! Si vous avez une idée pour résoudre l'exercice donnez la moi sur ce forum ou a mon adresse mail: sarahlynnwagner@yahoo.fr. Merci d'avance pour toutes vos réponses!!!

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v) (u et v sont des vecteurs) unité graphique 8cm.
On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
On appelle S l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble S, on associe le point N d'affixe z^2 et le point P d'affixe z^3 .
1. Prouver que les points M, N et P sont deux a deux distincts.

2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble W des points M appartemant à S tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si |z+1|^2 + |z|^2 = 1
b. Démontrer que |z+1|^2 + |z|^2 = 1 équivaut à
(z + 1/2)(module de (z + 1/2) = 1/4
c. En déduite l'ensemble W cherché

3. Soit M un point de S et z son affixe. On désigne par r le module de z et (alpha) l'argument de z, (alpha) app/ ]-pi : pi]
a. Démontrer que l'ensemble F des points M de S tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois semi droites (éventuellement privées de points)
b. Représenter les ensembles W et F dans le repère
c. Déterminer les affixes des points M de S tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l'affixe de P étant un réel strictement positif.
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Envoyé: 17.10.2005, 10:25

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
1) Il suffit de démontrer que si z = z^2 alors z=0 ou z=1 donc M= O ou M = B impossible selon le domaine de définition
Je te laisses faire z = z^3 et z^2 = z^3

2) Je pense que Pythagore devrait être utile
MNP rectangle en P equiv/ MN^2 = PM^2 + PN^2
tu devrais y arriver



modifié par : Zorro, 17 Oct 2005 @ 10:27
Top 
Anonyme
Envoyé: 18.10.2005, 20:32
Utilisateur non enregistré Merci Zorro pour ta réponse mais je ne comprends pas très bien, si (au grad 1) les points sont deux a deux distincts, on devrait pas dire que z diff/ z^2 ? Au lieu de dire que z=z^2 ? que veut dire exactement des points deux à deux distincts?!
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Envoyé: 18.10.2005, 21:51

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Salut.
Dire que M, N et P sont deux-à-deux distincts signifie que
M diff/ N, M diff/ P et N diff/ P.
Les trois conditions simultanément remplies.
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Anonyme
Envoyé: 19.10.2005, 07:48
Utilisateur non enregistré Merci zauctore, c'est bien ce qui me semblait...
J'obtiens normalement z diff/ -1, 1 et 0 et cela me confirme que M, N et P sont distincts de A, B et O. Le démonstration de Pythagore ensuite est facile...

Quelqu'un aurait il une idée pour le 2b) ?? Je pars de ca que je viens de démontrer pour prouver cette équvalence??
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Envoyé: 19.10.2005, 14:28

Cosmos
nelly

enregistré depuis: mars. 2005
Messages: 391

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dernière visite: 11.12.11
Salut!
Au fait pas besoin de donner ton adresse mail!
Pour être prévenu qu'il y a une réponse à ton post, il te suffit de t'inscrire au sujet(cette icône se situe au début de la discussion)!
Ainsi tu reçoies sur la boîte mail que tu as donné dans tes renseignements personnels, les réponses de ton posts!
Voilà!
Biz
Nel'
Top 
Envoyé: 19.10.2005, 15:48

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Je déchiffre mal ce qui est en gras :
Sarah
b. Démontrer que |z+1|² + |z|² = 1 équivaut à
(z + 1/2)(module de (z + 1/2) = 1/4

Peux-tu ré-éditer ceci ?
Top 
Anonyme
Envoyé: 20.10.2005, 06:25
Utilisateur non enregistré Il n'ya pas les "smilies" dont j'ai besoin pour le réediter, je vous ajoute une image, jespere qua cela vous aidera... Vous trouverez l'image sur: http://pix.nofrag.com/b3/46/defa83900db2bd8cdf1f7bc7fe08.html
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Envoyé: 20.10.2005, 14:33

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Tu avais écris "module", alors que tu voulais parler de "conjugué" : il faut faire attention de t'astreindre à un vocabulaire (certes barbare mais) précis et convenu.

Moi ici, je dirai "z(barre)" pour "conjugué de z".

Tu as dû voir en passant une propriété bien utile :
u foi/ u(barre) = |u|²

Alors |z+1|² = (z+1)(z(barre)+1) et |z|² = z z(barre).
Alors |z+1|² + |z|² = 1 équivaut à
(z+1)(z(barre)+1) + z z(barre) = 1,
en développant on a ;
2 z z(barre) + z + z(barre) + 1 = 1

maintenant, tu développes
(z+1/2)[(z+1/2) (barre)] = 1/4
z z(barre) + z/2 +z(barre)/2 + 1/4 = 1/4.

C'est clair que ces deux expressions sont équivalentes !

...même si la façon dont j'ai traité la question manque d'élégance !
Top 
Anonyme
Envoyé: 20.10.2005, 19:57
Utilisateur non enregistré Ok merce beaucoup, je vais regarder ça calmement, jespère que j'arriverai quand même a finir l'exercice... icon_frown
Top 
Anonyme
Envoyé: 23.10.2005, 00:49
Utilisateur non enregistré Je n'arrive pas a finir l'exercice... Comme ensemble W je trouve un triangle ce qui me semble étrange car on parle déjà de triangle (MNP) dans l'énoncé... Le 3° je nage complètement, lorsqu'il n'y a pas de nombres concrèts c'est plus difficile a résoudre mais j'essaye encore. Merci beaucoup si qqn a une idée... icon_smile icon_smile icon_smile
Top 
Envoyé: 23.10.2005, 12:52

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Salut Sarah.
Il me semble que
u foi/ u(barre) = R²
equiv/ |u|² = R²
ce qui caractérise un cercle.
Ce qui permet de trouver W, non ?
Top 
Envoyé: 30.10.2005, 11:48

Une étoile


enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 13

Status: hors ligne
dernière visite: 01.11.05
bonjour, je doit faire le meme exercice et je n arrive pas à trouver l ensemble de point pour la question 2)c) et le 2)a)!j ai bcp de mal pour les nombres complexes...merci d avance
Top 
Envoyé: 31.10.2005, 18:22

Une étoile


enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 13

Status: hors ligne
dernière visite: 01.11.05
j ai reussi a faire la question 2)a) et finallement c etait pas si dur que ca!!mais bon il a fallut du tps, par contre je n arrive tjs pas a trouver l ensemble de points de la question 2c
Top 


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