Bonjour, j'ai quelques problèmes avec les nombres complexes lorsqu'on y applique la géométrie. Je n'y comprends plus rien! Si vous avez une idée pour résoudre l'exercice donnez la moi sur ce forum ou a mon adresse mail: sarahlynnwagner@yahoo.fr. Merci d'avance pour toutes vos réponses!!!
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v) (u et v sont des vecteurs) unité graphique 8cm.
On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
On appelle S l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble S, on associe le point N d'affixe z^2 et le point P d'affixe z^3 .
1. Prouver que les points M, N et P sont deux a deux distincts.
2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble W des points M appartemant à S tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si |z+1|^2 + |z|^2 = 1
b. Démontrer que |z+1|^2 + |z|^2 = 1 équivaut à
(z + 1/2)(module de (z + 1/2) = 1/4
c. En déduite l'ensemble W cherché
3. Soit M un point de S et z son affixe. On désigne par r le module de z et (alpha) l'argument de z, (alpha) app/ ]- : ]
a. Démontrer que l'ensemble F des points M de S tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois semi droites (éventuellement privées de points)
b. Représenter les ensembles W et F dans le repère
c. Déterminer les affixes des points M de S tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l'affixe de P étant un réel strictement positif.
1) Il suffit de démontrer que si z = z^2 alors z=0 ou z=1 donc M= O ou M = B impossible selon le domaine de définition
Je te laisses faire z = z^3 et z^2 = z^3
2) Je pense que Pythagore devrait être utile
MNP rectangle en P equiv/ MN^2 = PM^2 + PN^2
tu devrais y arriver
modifié par : Zorro, 17 Oct 2005 @ 10:27
Anonyme
Envoyé: 18.10.2005, 20:32
Utilisateur non enregistré
Merci Zorro pour ta réponse mais je ne comprends pas très bien, si (au grad 1) les points sont deux a deux distincts, on devrait pas dire que z diff/ z^2 ? Au lieu de dire que z=z^2 ? que veut dire exactement des points deux à deux distincts?!
Salut.
Dire que M, N et P sont deux-à-deux distincts signifie que
M diff/ N, M diff/ P et N diff/ P.
Les trois conditions simultanément remplies.
Z, auctore.
Anonyme
Envoyé: 19.10.2005, 07:48
Utilisateur non enregistré
Merci zauctore, c'est bien ce qui me semblait...
J'obtiens normalement z diff/ -1, 1 et 0 et cela me confirme que M, N et P sont distincts de A, B et O. Le démonstration de Pythagore ensuite est facile...
Quelqu'un aurait il une idée pour le 2b) ?? Je pars de ca que je viens de démontrer pour prouver cette équvalence??
Salut!
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Biz
Nel'
Il n'ya pas les "smilies" dont j'ai besoin pour le réediter, je vous ajoute une image, jespere qua cela vous aidera... Vous trouverez l'image sur: http://pix.nofrag.com/b3/46/defa83900db2bd8cdf1f7bc7fe08.html
Tu avais écris "module", alors que tu voulais parler de "conjugué" : il faut faire attention de t'astreindre à un vocabulaire (certes barbare mais) précis et convenu.
Moi ici, je dirai "z(barre)" pour "conjugué de z".
Tu as dû voir en passant une propriété bien utile :
u foi/ u(barre) = |u|²
Alors |z+1|² = (z+1)(z(barre)+1) et |z|² = z z(barre).
Alors |z+1|² + |z|² = 1 équivaut à
(z+1)(z(barre)+1) + z z(barre) = 1,
en développant on a ;
2 z z(barre) + z + z(barre) + 1 = 1
maintenant, tu développes
(z+1/2)[(z+1/2) (barre)] = 1/4
z z(barre) + z/2 +z(barre)/2 + 1/4 = 1/4.
C'est clair que ces deux expressions sont équivalentes !
...même si la façon dont j'ai traité la question manque d'élégance !
Z, auctore.
Anonyme
Envoyé: 20.10.2005, 19:57
Utilisateur non enregistré
Ok merce beaucoup, je vais regarder ça calmement, jespère que j'arriverai quand même a finir l'exercice...
Anonyme
Envoyé: 23.10.2005, 00:49
Utilisateur non enregistré
Je n'arrive pas a finir l'exercice... Comme ensemble W je trouve un triangle ce qui me semble étrange car on parle déjà de triangle (MNP) dans l'énoncé... Le 3° je nage complètement, lorsqu'il n'y a pas de nombres concrèts c'est plus difficile a résoudre mais j'essaye encore. Merci beaucoup si qqn a une idée...
bonjour, je doit faire le meme exercice et je n arrive pas à trouver l ensemble de point pour la question 2)c) et le 2)a)!j ai bcp de mal pour les nombres complexes...merci d avance
j ai reussi a faire la question 2)a) et finallement c etait pas si dur que ca!!mais bon il a fallut du tps, par contre je n arrive tjs pas a trouver l ensemble de points de la question 2c
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