Exercice sur un polynome de degré 3 .


  • A

    Bonjour tout le monde ,
    Depuis environ 3 h j'assaye de resoudre un exercice . Deseperé je m'adresse a vous et vous prie de m'aider .

    Enoncé :

    1. Determiner le polynome P de degré 3 tel que pour tout reel x , P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0
    2. Demontrer que pour tout entier n≥1
      1²+2²+...+n²=P(n+1)
    3. En deduire que : 1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
    4. En deduire la somme des carres des :
      a) 10 premiers entiers superieurs ou egaux à 1
      b) 100 premiers entiers superieurs ou egaux à 1.

    Je ne vous demande pas de faire l'exercice a ma place , sa serais trop facile.. Je vous prie juste de me mettre sur la piste . De m'aider un peu . Je narriverais pas tout seul ! 😕

    MERCI D'AVANCE !!


  • M

    Bonjour,
    Pour la première question, pose P(x) = ax3ax^3ax3 + bx² + cx + d
    Procède par identification en utilisant P(x+1) - P(x) = x²


  • A

    Effectivement P(x)=ax³ + bx² + cx + d
    C'est ce que j'ai appris , mais je ne sais pas comment "proceder par indentification " .
    D'apres ce que j'ai compris je doit faire :
    P(x) = P(x+1)-x² = ax³ + bx² + cx + d

    😕


  • M

    Exprime P(x+1) : P(x+1) = a(x+1)3a(x+1)^3a(x+1)3 + ....
    Puis développe et réduis P(x+1) - P(x)


  • A

    P(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² +c(x+1) +d
    = a[(x+1)²(x+1)] + b(x+1)² +c(x+1) +d
    = a(x³ + 3x² + 2x +2 ) + b(x²+2x+1) + cx + c +d
    = ax³ + 3ax² +a2x + 2a + bx² + 2bx + b + cx + c +d
    ???? :rolling_eyes:


  • M

    Il y a des fautes dans cette parenthèse : (x³ + 3x² + 2x +2 )
    ( donc la dernière ligne est fausse )


  • A

    Ah ! OK !
    a(x+1)³ = x³ + 3x² + 3x +1
    Donc je refais :

    et si je devellope et reduit tout j'obtiens :

    x²=3ax²+a3x+b2x+b+c+a ???


  • M

    Oui.
    Regroupe les termes en x² , en x, et les termes constants : n'oublie pas que l'égalité est vraie pour tout x, donc les coefficients des deux côtés sont identiques.


  • A

    Donc a = 1/3
    b = -1/2
    c= 1/6
    d = 0 ?


  • M

    Exact ( le dernier résultat provient de P(1) = 0 ).

    Pour la question 2, utilise uniquement P(x+1) = P(x) + x² et P(1) = 0


  • A

    Cosmos MERCI BEAUCOUP pour la premiere question ... mais decidement cet exercice n'est pas fait pour moi ! Je ne comprends pas la suite .
    Il faut demontrer donc faire une generalité ...


  • M

    Mathtous, pas Cosmos ...

    n étant un entier, si tu établis l'égalité sans utiliser de valeur particulière, tu l'auras bien "démontrée".

    La formule P(x+1) = P(x) + x² est vraie pour tout x. Tu peux l'appliquer lorsque x est un entier n:
    Pour x = 1 , tu obtiens : P(2) = P(1) + 1²
    Pour x = 2, tu obtiens : P(3) = P(2) + 2²
    Et ainsi de suite jusqu'à x = n.
    Tu ajoutes à gauche et à droite : ça se simplifie.


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