Inéquation de racine cubique dans unne étude de suite récurrente

Voila, j'ai un exercice de math ou je bloque sur les dernières questions et malgré tout mes efforts je n'arrive pas a m'en sortir, voici les données issues de l'énoncé et des autres questions :

Toute les fonction sont définie sur [1;+∞[

g(x)=x³-3x-5 et g(x)=0 a une unique solution que l'on nommera ici α et qui vaut 2<α<5/2
On a une fonction f(x)= $s q r t [3]$ (3x-5)
On a une suite (Un) définie par récurrence U_{n+1} = f(U_n) et U_0 ≥ 1

On a prouver dans les questions précédente que
α ≤ U_n ≤ 5/2

La suite était décroissante donc U_{n+1} ≤ U_n
Et que la limite de Un était α

Le problème se pose dans ces deux questions:

Prouver que:

$∀n∈nun+1−α≤1α2(un−α)\forall n \in \mathbb{n} \quad u_{n+1}- \alpha \leq \frac{1}{\alpha^{2}}(u_n-\alpha )$
en déduire

$∀n∈nun+1−α≤1α2n(52−α)\forall n \in \mathbb{n} \quad u_{n+1} -\alpha \leq \frac{1}{\alpha^{2n}}\left(\frac{5}{2}-\alpha \right)$

J'ai beau essayer de développer de réduire et ainsi de suite je ne retombe que sur une forme basique de U_{n+1} - α ≤ Un - α.

Pouvez vous m'indiquer un indice ou un début de solution afin que je puisse trouver ce résultat merci beaucoup

PS : α=alpha

Bonjour

je vais vous aider, mais je souhaiterais avoir l'énoncé complet de l'exercice : peut - être pouvez vous me scanner le problème et me le donner en pièce jointe par message privé ou autre.

Voila je vous ai envoyé un lien contenant l'énoncé complet pour ceux qui e souhaite ci dessous :
<a href="http://img399.imageshack.us/img399/2980/scan0003p.jpg" title="
http://img399.imageshack.us/img399/2980/scan0003p.jpg" target="_blank">
http://img399.imageshack.us/img399/2980/scan0003p.jpg

et où est la partie 2?

c'est un autre exercice qui n'a aucun rapport avec le premier sur lequel j'ai posté un sujet car il me semblait que l'énoncé était erroné

Bonjour,

L'énoncé n'est pas erroné... Ca c'est sur

car pour tout n ∈ $mathbb{N}$ , $un+1−α≤1α2(un−α)↔un+1−αun−α≤1α2↔f(un)−αun−α≤1α2.u_{n+1} - \alpha \leq \frac{1}{\alpha ^{2}}(u_{n}-\alpha ) \leftrightarrow \frac{u_{n+1} - \alpha }{u_{n}-\alpha}\leq \frac{1}{\alpha ^{2}}\leftrightarrow \frac{f({u_{n}) - \alpha }{}}{u_{n}-\alpha}\leq \frac{1}{\alpha ^{2}}.$
$u_n$

Et si on prend la limite quand $u_n$ tend vers α, cad quand n tend vers +∞, on obtient alors le nombre dérivé f'(α) qui est égale à $1α2\frac{1}{\alpha ^{2}}$ .

Tu as alors l'égalité. Voila, ce post simplement pour dire que l'énoncé est correct.

Cette énoncé est correct c'est celui que j'ai couper qui ai érroné

Ah ok .. et bien maintenant tu vois d'ou vient le 1/α². Ca reste interessant

j'ai regardé moi aussi cet exercice : je ne vois pas d'autre façon d'aborder le problème facilement que d'utiliser le résultat que présente studypass : à savoir, utiliser le fait que la limite de Un est α.
on en déduit que limite qd n tend vers +inf de f(Un)-α / (Un - α) est f'(α).

or on montre que f' est décroissante (en calculant f") donc quelque soit x>α on a f'(x)<f'(α)
or f'(α)=1/α² d'où le résultat

pour la suite
ON UTILISE donc le résultat que l'on vient de montrer donc U1-α<(1/α²)(U0-α) , par la suite U2-α<(1/α²) (U1-α) etc.... Un+1 - α < (1/α2n) (U0 - α) or UO= 5/2 d'où le résultat

j'espère que studytpass et moi vous avons aidé

merci beaucoup cela m'a éclaircie j'espère par contre ne pas retomber dessus au contrôle car sa ne sera pas évident à ressortir correctement

il n'y a rien de compliqué : lorsque l'on voit ce taux d'accroissement, il est évident que cela fait penser à la définition du nombre dérivé

f'(a) = limite qd x -> a de f(x) - f(a) / x-a

un conseil : pas d'impasse, il faut absolument tout comprendre, car le DS n'est pas la finalité ....

ok?

Pour ma part, je suis certain qu'il y a une autre réponse que celle que j'ai proposé... je suis encore en réflexion mais il doit y avoir un autre moyen de le montrer... enfin je crois

Mais sinon on a utilisé que des propriétés que tu as du voir depuis le début de l'année. Rien de bien sorcier. Le nombre dérivé est à connaitre et il faut y penser

je précise que f(α) = α c'est la raison pour laquelle on a f(Un)-f(α) / (Un - α)
taux d'accroissement, définition du nombre dérivé
= f(Un)-α / (Un - α)

Cette partie la est comprise mais comment trouve -t-ton que f'(α)=1/α²
C'est de la que viens mon bug :
f(α)=(3α $5)^{1/3}$
f'(α)= (1/3)(3α $5)^{-2/3}$ *3
f'(α)= 1/(3α $5)^{2/3}$
Je suppose car nous ne connaissons pas les dérivés des racines cubiques
Mais après cela je ne sais pas comment retrouver 1/α²

Par définition, a quoi correspond α ?

Par définition α correspond à l'unique solution de l'équation x³-3x-5=0 sur [1;+∞[
Mais on prouve par la suite que c'est aussi la limite de Un et donc de f ainsi
f(α)=α

Oui donc α³ -3α - 5 =0 donc 3α + 5 =
donc (3α $5)^{-2/3}$ =?

3α+5=α³ donc (3α $5)^{-2/3}$ =α $^{-2}$
Donc on remplace et on a trouver
Ok c'est bon j'ai compris merci beaucoup pour avoir pris le temps de bien m'expliquer cela.

Souviens toi bien de cette astuce. On la retrouve souvent dans les exercices type Bac.. donc souviens toi quand tu es bloqué, cherche comment la variable a été définie. Bon courage

effectivement si vous n'aviez pas calculé f', .....c'est curieux puisqu'on demandait les variations de f aux questions précédentes...

Oui mais cela peut se savoir sans calculer f' car c'est une fonction racine cubique donc elle est toujours croissante ce qui me permit d'éviter de calculer sa dérivée

Oh la mefie toi... f est la composé d'une fonction affine et d'une fonction racine cubique. Dans ce cas il se trouve que la fonction affine est croissante donc par composition ca fonctionne mais ca n'est pas toujours le cas. Il est tout de meme préférable de la dériver...

D'accord, j'était partit sur les même propriétés que la fonction carré car c'est la première fois que je suis confronté à une racine cubique donc je n'ai pas prit la peine de la dérivé.

JE PEUX détailler les réponses aux questions précédentes?
envoyez moi votre mail en privé je vous scanne l'exercice.