Trinôme du second degré - etude de la courbe représentative


  • S

    Bonsoir,

    J'ai un devoir maison dont je n'arrive pas à trouver la solution. Le sujet :
    "On considère les paraboles d'équation y=x2+bx+1y = x^2 + bx + 1y=x2+bx+1. Donner les coordonées de leur sommet et montrer qu'ils sont situées sur la courbe représentative de la fonction x→−x2+1x \rightarrow -x^2+1xx2+1"

    Comme sommet j'ai trouvé (−b2;−b2−44)(\frac{-b}{2}; \frac{-b^2-4}{4})(2b;4b24).
    Je n'arrive pas à prouver que les paraboles d'équation sont situées sur la courbe représentative de x→−x2+1x \rightarrow -x^2+1xx2+1.

    Si quelqu'un pouvait m'aider ...

    Merci d'avance 😄


  • Zorro

    Bonjour,

    et si tu essayais de montrer que

    ,−b2−4,4,=,−(−b2)2,+,1\frac{,-b^2-4,}{4} ,=, -(\frac{-b}{2})^2,+,14,b24,,=,(2b)2,+,1


  • S

    Merci de ta réponse.

    En devellopant je trouve : (−b2−4)4=−b24−1=(−b2)2−1=(−b2)2×(−1)−1×(−1)=−(−b2)2+1\frac{(-b^2-4)}{4}=\frac{-b^2}{4}-1=(\frac{-b}{2})^2-1=(\frac{-b}{2})^2\times (-1)-1\times (-1)=-(\frac{-b}{2})^2+14(b24)=4b21=(2b)21=(2b)2×(1)1×(1)=(2b)2+1

    Mon raisonnement est-il juste ? (J'ai un doute quant au ×(−1)\times (-1)×(1).)


  • S

    On peut donc dire que y = -abcisse + 1

    Qu'est-ce que je peux utiliser pour prouver que le sommet de yy%20=%20x^2%20+%20bx%20+%201y est sur la courbe représentative de x→−x2+1x\rightarrow -x^2+1xx2+1 ?


  • S

    • abscisse² +1 plutôt

    effectivement, c'est ce qu'il faut remarquer. On peut écrire l'équation paramétrique également.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    Vérifie les coordonnées de ton sommet, l'ordonnée est fausse.


  • S

    Merci pour vos réponses 😉

    Pour calculer l'ordonnée la formule est bien −δ4a\frac{-\delta }{4a}4aδ ? Et comme δ=b2−4\delta = b^2-4δ=b24 pour ce trinome j'ai donc −(b2−4)4=−b2+44\frac{-(b^2-4)}{4}=\frac{-b^2+4}{4}4(b24)=4b2+4. Effectivement, cela me semble plus juste maintenant. Mais comment obtenir le - (en rouge) de −{\color{red} }-(−b2)2+1(\frac{-b}{2})^2+1(2b)2+1
    ?


  • N
    Modérateurs

    (-b/2)² = b²/4
    donc

    • (-b/2)² = -b²/4

  • S

    Effectivement Noemi.


  • Zorro

    Toutes mes excuses je voulais tellement lire ,−b2+4,4\frac{,-b^2+4,}{4}4,b2+4, que j'ai fini par le lire

    Et j'ai fait le copier coller de ce que sylvain67 avait écrit pour éviter de refaire le code LaTeX.


  • S

    Je peut donc conclure que comme (−b2,;,−(−b2)2+1):(\frac{-b}{2}, ; , -(\frac{-b}{2})^2+1):(2b,;,(2b)2+1):↔(x,;:−x2+1)\leftrightarrow (x, ;: -x^2+1)(x,;:x2+1) , les coordonnées des sommets du trinôme x2+bx+1x^2+bx+1x2+bx+1 appartiennent à la courbe représentative de x:→:−x2+1x: \rightarrow : -x^2+1x::x2+1


  • N
    Modérateurs

    Oui, tu peux conclure ainsi.


  • S

    Ok ! Un grand merci à tous 😁


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