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Envoyé: 15.10.2005, 18:24
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Une étoile
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bonjour
voici le sujet:
1) Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1) - P(x)=x² et p(1)=0
2) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: 1²+2²+...+n²=P(n+1)
3) En déduire que : 1²+2²+...+n²= (n(n+1)(2n+1))/6
4) En déduire la somme des carrés des:
a) 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à1
b) 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1
Voila meme la 1ère question je n'y arrive pas donc ce serait gentils de votre part de m'aider
Merci 
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Envoyé: 15.10.2005, 19:08
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Cosmos
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1)on a P=aX^3+bX²+CX+D
p(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-ax^3-bx²-cx-d=0
p(x+1)=a(x^3+3x²+3x+1)+b(x²+....) je te laisse poursuivre
2)une fois que tu aura l'expression de P(x)
il s'agira de demontrer par reccurence que p(n+1)=1+2²+3²+...n²
3)pour deduite l'expression de (3) tu doit effetuer la somme P(x+1) - P(x)=x² en remplacant x par k et en donnant des valeurs pour k allant
de 0 à n , soit à calculer som( P(k+1) - P(k))=somk²=1+2²+3²+....+n²
attention petit chgt de variable pour p(k+1) en posant par exemple
k+1=j, ce pour simplifier le calcul de la somme.
4) SOM(k²) pour k comprs entre 1 et 10
5) "........................................." 1 et 100
flight721
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Envoyé: 15.10.2005, 19:27
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Une étoile
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merci mais je narive pas à dévelloper la 1ère kestion et je ne compren pa la suite donc ce serait vraiment gentils que tu m'aides davantage.
merci par avance
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Envoyé: 15.10.2005, 19:40
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Modératrice
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Comme tu dois le savoir en 1S un polynôme du 3ème degré est de la forme
P(x)=ax^3 + bx^2 + cx +d
P(x+1)=a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) +d ce que tu dois savoir développer
en suite on te dit que
P(x+1) - P(x)=x^2 donc tu recopies .....
et aussi P(1)=0 donc a(1)+b(1)+c(1)+d=0
Essaye un peu !!
modifié par : Zorro, 15 Oct 2005 @ 19:41
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Envoyé: 15.10.2005, 20:05
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Une étoile
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jobtiens en dévellopant: a(3x²+3x+1)+b(2x+1)-x²+c=0
est-ce cela que je dois obtenir??
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Envoyé: 15.10.2005, 20:07
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Une étoile
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ah non après vérification j'obtien : a(3x²+3x+1)+b(2x+1)+c=0
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Envoyé: 15.10.2005, 20:20
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Modératrice
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oui mais pour faire une identification entre 2 polynomes il faut les ordonner selon l'ordre croissant des puissances de x et non en fontion des a b et et puis aprés tu dois tomber sur x^2 donc ti dois conclure que le coefficient devant x doit ête nul ainsi qui celui qui ne multiplie pas de x
modifié par : Zorro, 15 Oct 2005 @ 20:23
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Envoyé: 15.10.2005, 20:50
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Modérateur
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Salut.
De mémoire, on trouve a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6.
d peut être pris égal à 0.
Pour montrer que 1²+2²...+n² = P(n+1), écris
P(2)-P(1) =...
P(3)-P(2) = ...
...
jusqu'à
P(n+1)-P(n) =...
où tu dois compléter !
puis tu ajoutes toutes ces égalités membre à membre : il y a de l'élimination dans l'air.
modifié par : Zauctore, 16 Oct 2005 @ 15:28
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Envoyé: 16.10.2005, 16:03
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Une étoile
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oui mais ce n'est pas posiible que :a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6.
d égal à 0. puique a+b+c+d doit être égal à 0 non???
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Envoyé: 16.10.2005, 16:30
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Modérateur
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Ecoute, va voir ici :
posté par Helo01
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