Arithmétique : Congruence et chiffre des unités


  • L

    Bonjour,

    Je viens de démontrer que

    pour tout n∈r   n(n4−1)≡0 [5]\text{pour tout } n\in\mathbb{r} \ \ \ n\left( n^{4} - 1 \right)\equiv 0 \ \left[5 \right]pour tout nr   n(n41)0 [5]

    et on me demande d'en déduire que

    np+4n^{p+4}np+4 et npn^{p}np ont même chiffre d'unité.

    Sans le terme déduction, je serais passé par les congruences modulo 10.

    Quelqu'un aurait-il une idée ?

    Merci d'avance.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour

    n est un réel ?

    Et avec n^(p+4) = n^p * n^4


  • L

    Quelques petites corrections à mon sujet

    n∈n<em>   p∈n</em>n \in \mathbb{n}^{<em>} \ \ \ p \in \mathbb{n}^{</em>}nn<em>   pn</em>

    J'avais pensé faire

    $n^{p+4} \equiv n^{p} \ \left[10\right] \ \ \ \leftrightarrow \ n^{p+4} - n^{p} \equiv 0 \ \left[10\right] \ \ \ \leftrightarrow \ n^{p-1}\left[n\left(n^{4}-1\right)\right] \equi 0 \ \left[10\right]$

    pour faire apparaître les hypothèses, tout en sachant que

    n(n4−1)≡0 [10]n \left( n^{4}-1 \right) \equiv 0 \ \left[ 10 \right]n(n41)0 [10] ou n(n4−1)≡5 [10]n \left( n^{4}-1 \right) \equiv 5 \ \left[ 10 \right]n(n41)5 [10].

    Si n(n4−1)≡0 [10]n \left( n^{4}-1 \right) \equiv 0 \ \left[ 10 \right]n(n41)0 [10], c'est terminé. Par contre, pour n(n4−1)≡5 [10]n \left( n^{4}-1 \right) \equiv 5 \ \left[ 10 \right]n(n41)5 [10], je ne m'en sort pas.


  • kanial
    Modérateurs

    Salut lohot,

    Ce que tu as écrit manque un peu de cohérence (aucun lien entre les différentes lignes que tu écris, pas d'explication sur le raisonnement...) mais tu sembles avoir compris.
    Pour ton problème, si n(n4−1)≡5 [10]n \left( n^{4}-1 \right) \equiv 5 \ \left[ 10 \right]n(n41)5 [10] cela signifie que n(n4−1)n \left( n^{4}-1 \right)n(n41) est impair, que cela implique-t-il pour n ? Quelle est alors la parité de n4n^4n4-1 ?


  • L

    J'ai trouvé la solution en repartant :

    np−1[n(n4−1)] ≡ 0 [10]n^{p-1} \left[ n \left( n^{4}-1 \right) \right] \ \equiv \ 0 \ \left[ 10 \right]np1[n(n41)]  0 [10]

    Il suffit de montrer que n(n4−1)n \left( n^{4}-1 \right)n(n41) est un multiple de 2 en plus de 5. Comme 2 et 5 sont premier entre eux, n(n4−1)n \left( n^{4}-1 \right)n(n41) est un multiple de 10.

    si n ≡ 0 [2]n \ \equiv \ 0 \ \left[ 2 \right]n  0 [2]
    donc n(n4−1) ≡ 0(04−1) ≡ 0 [2]n \left( n^{4}-1 \right) \ \equiv \ 0 \left( 0^{4} -1 \right) \ \equiv \ 0 \ \left[ 2 \right]n(n41)  0(041)  0 [2]

    si n ≡ 1 [2]n \ \equiv \ 1 \ \left[ 2 \right]n  1 [2]
    donc n(n4−1) ≡ 1(14−1) ≡ 0 [2]n \left( n^{4}-1 \right) \ \equiv \ 1 \left( 1^{4} -1 \right) \ \equiv \ 0 \ \left[ 2 \right]n(n41)  1(141)  0 [2]


Se connecter pour répondre