Nombre complexe (terminal S)

Bonjour, si quelqu'un peu m'aider se serai vraiment gentil...
Alors enfaite j'ai un exercice important que je n'arrive pas à faire:

Pour tout nombre complexe z, on pose:
P(z)= $z^4$ -1

Factorizez P(z)
Déduisez-en les solutions, dans C, de l'équation:
P(z)=0
Déduisez de la question précédente les solutions, dans C, de l'équation $2z+1)/(z-1))^4$ =1, d'inconnue z.

Pour la Question 1, j'ai essayé plusieurs méthode mais aucune ne convient:

J'ai voulu poser Z= z²
P(z)= (z²+1)(z²-1) mais je ne pense pas du tout que se soit ca...

Pouvez vous m'aider ?
Merci

Bonjour,

Le début est juste mais il faut poursuivre la factorisation :
z²-1 = ....
z²+1 = ....

z²+1 = (z+i)(z-i)
z²-1 = (z+1)(z-1)
??

C'est juste

La factorisation s'arrète donc là :

P(z) = (z+i)(z-i)(z+1)(z-1) ??

A présent j'essaye de résoudre P(z)=0

Oui passe la question 2)

Avec la proprité: un produit de facteur est nul ssi un de ses facteurs est nul, je trouve:
soit z= -i
soit z= i
soit z= -1
soit z=1

Est-ce que les résultats sont justes et est-ce que j'ai fini de répondre à la question 2 avec celà ?

Oui Note l' ensemble solutions S ={...

S = { -i; i; -1; 1 }

Pour la question 3, je pense qu'il faut peut être poser Z= (2z+1)/(z-1).
Après on a: $Z^4$ =1
= $Z^4$ -1=0
J'aurai fais: $Z_1$ = Z = (2z+1)/(z-1)=i, puis résolu celà et faire la même chose pour $Z_2$ = -i, $Z_3$ = 1 et $Z_4$ = -1 mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire ???

c'est bien ce qu'il faut faire.

Merci, j'essaye et je vous dis ce que je trouve!

J'ai:
<=> $Z^4$ -1 =0
<=> (Z²+1)(Z²-1)
<=> (Z+i)(Z-i)(Z+1)(Z-1)
<=> soit $Z_1$ =Z= (2z+1)/(z-1)=i
$Z_1$ = (2z+1)/(z-1)-i=0
Là, je ne sais plus trop quoi faire....

(2z+1)/(z-1)-i=0
tu réduis au même dénominateur
(2z+1)/(z-1)-i(z-1)/(z-1)=0

puis tu résous :
(2z+1) -i(z-1) = 0 avec z différent de 1

Je trouve:
(2z+1) -i(z-1) = 0
2z+1-iz+i=0
z(2-i) = -1-i
z = (-1-i)/(2-i)

faut il multiplier par le conjugué du dénominateur ?

Ce n'est pas terminé, tu dois écrire z sous la forme a+bi
pense à l'expression conjuguée.

Ca me donne: Z1= z= (-1/5) - (3/5)i

Mais là j'ai $Z_1$ , j'ai pas z... Comment je fais pour trouver mon petit z ?

C'est z que tu as calculé en non Z1.

et donc je fais ca pour Z2, Z3 et Z4 et j'aurai mes 4z ? et la question 3 sera fini ?

J'ai trouvé: S = { (-1/5)-(3/5)i ; (-3/5)-(1/5)i ; -3 ; -2 } c'est juste ?

Ca me semble bizard de pas trouvé de i dans les 2 dernières solutions...

Vérifie tes calculs, je n'ai pas les mêmes réponses.

d'accord, aucunes réponses en communs ?

La première et la dernière sont justes.

Alors mes résultats sont: S = { (-1/5)+(3/5)i ; (-1/5)-(3/5)i ; 0 ; -2 }

se sont les bonnes solutions ?

???? SVP

???? SVP

C'est juste.