Je sais bien que multiplier deux nombres négatifs entre eux donne un résultat positif, mais je ne comprends pas POURQUOI et ne peux donc pas l'expliquer à ma fille de 12 ans... Est-ce qu'il y a une explication logique à ce résultat?
1°
Il faut d'abord se rendre compte qu'il est naturel de poser
3foi/-5 = -15.
En effet, 3foi/-5 = -5 -5 -5... n'est-ce pas.
Ceci permet de définir la multiplication d'un négatif et d'un positif.
2°
Ensuite, on sait que
5 - 5 = 0.
Donc on en déduit
-3foi/(5 - 5) = 0.
D'où ensuite, en distribuant
-3foi/5 -3foi/-5 = 0
-15 -3foi/-5 = 0
d'où le fait que nécessairement
-3foi/-5 = 15 (A)
pour que la somme (A) soit nulle...
Ainsi, on définit la "règle des signes" -foi/- -> + pour des raisons de cohérence avec les autres règles de calculs.
3°
Sinon, une "suite logique", que les élèves aiment bien...
-15 ; -10 ; -5 ; 0 ; ... et puis ? (B)
Avec -15 = 3foi/-5, -10 = 2foi/-5, etc... on en arrive à -1foi/-5 = 5 en continuant la "suite logique" (B).
4°
Enfin :
-3foi/-5 = -(3foi/-5) = - (-15) = 15
avec la notion d'opposé d'un nombre négatif.
Il faut comprendre que la règle des signes ainsi posée est une nécessité.
Remarque : à 12 ans, en 5e... on se pose déjà de telles questions ?
Eh bien, quelle efficacité et quelle clarté : tout me semble évident maintenant! Merci beaucoup pour les explications, je suis dorénavant outillée pour lui expliquer et, j’espère, lui faire comprendre.
Concernant son âge et son degré, ma fille a bien 12 ans, mais comme je ne connais pas le système français, je ne savais pas où la placer dans les degrés proposés. Nous vivons au Québec, à Montréal, et elle vient de débuter sa première secondaire, soit sa 7e année de scolarité : j’aurais donc dû utiliser le forum de 4e?... Une équivalence des âges sur le site serait appréciée (elle y est peut-être, mais je ne l’ai pas trouvée).
Pour faire comprendre les opérations avec les relatifs je me sers des jeux vidéos où on gagne des vies (+) et où en perd (-)
C'est pratique pour expliquer qu'au cours d'une partie si tu gagnes 2 vies et que tu en perds 3 c'est qu'en tout tu en as perdu 1
donc (+2)+(-3)=(-1)
exemple à varier à plaisir cas où on en gagne (-3)+(+5)=(+2)
Pour la multiplication on peut dire que si pendant 3 parties tu perds à chaque fois 2 vies tu as perdu 6 vies. On fait 3 x (-2) = -6
Pour la multiplication par un négatif c'est un peu plus tiré par les cheveux, certes, mais cela marche. On introduit la notion d'opposé : perdre 6 vies c'est l'opposé de gagner 6 vies.
(-6)=-(+6)
Et vice versa : gagner 6 vies c'est l'opposé de perdre 6 vies.
(+6)=-(-6)
Si faire 3 parties où on perds 2 c'est 3 x (-2) = (-6)
alors l'opposé de faire 3 parties c'est (-3) x (-2) et cela doit être l'opposé de l'opération d'avant soit (+6) .
Donc on mémorise que multiplier 2 négatifs entre eux donne un résultat positif, et après on extrapole aux nombres paires de négatifs.
