Alors voila j'ai un devoir maison à rendre pour Lundi prochain (14 sept) qui comporte 2 parties;
Partie A : Voila ce à quoi j'ai penser.
Un industriel fabrique des boîtes de volume 1dm² ayant la forme d'un parallélépipede rectangle de hauteur y et dont la base est un carré de côté x>0 ( L'unité de longueur est le décimètre ).
Il faut que je déduise de : y= 1/x² que la somme des aires de toutes les faces de la boîtes, en dm² est S(x) = 2x² +4/x
x étant le coté du carré, l'aire d'un carré = c² et puisqu'il y a 2 carrés, le 2x² est justifié.
Pour le 4/x, Aire d'un rectagle = L*l donc :
A= 4y*x = 4*(1/x²)*x = (4/x²)*x = 4/x
Donc S(x) = 2x² + 4/x
Partie B :
Pour que la fabrication des boîtes coûte le moins cher possible, il faut que S(x) soit la plus petite possible. On étudie donc les variations de la fonction S.
1. On considère deux réels distincts a et b de l'intervalle ]0:+infini[
a) Vérifier l'égalité : S(b) - S(a) = 2(b-a)/ab(ab(b+a)-2)
Donc je suppose que : (2b²+4/b)-(2a²+4/a) = 2(b-a)/ab(ab(b+a)-2)
mais je n'arrive pas à trouver comment, je suis bloquée ...
[2(b-a)/ab] [ab(b+a)-2] = [(2b-2a) (ab²+a²b-2)] / ab
Mais tu peux développer cette expression à ta façon. L'astuce consiste simplement à débuter le calcul par "l'autre bout" de l'égalité que l'on demande de vérifier.
tu dois étudier les sens de variation de quelle fonction ?
Tes intervalles excluent "1", tu ne parles dons pas de S(x).
Si qq'un peut t'aider ce week-end ---
De façon générale, pour étudier le sens de vairation d'une fonction, on prouve que la fonction est dérivable, on calcule sa dérivée, on étudie son signe puis on dresse le tableau de variation de la fonction en faisant bien attention aux valeurs interdites.
J'ai un exercice à rendre dans la semaine, du même genre que celui de Shania.
Pour décrire les variation de la fonction S dans cet exercice sur chacun des intervalles il suffit de prendre des réels quelconques de cet intervalle et cela définira le sens de variation de la fonction sur ces intervalles ?
Il suffit donc de prendre n'importe quel réel (dans l'intervalle donné ) et de comparé f(a) - f(b) et ça marche toujours ?
Je ne suis pas partie de S(x) = 2x² +4/x car dans la question il nous demander de déduire les variation à partie de l'égalité
S(b) - S(a) = [2(b-a)/ab](ab(b+a)-2)
[2(b-a)](ab(b+a)-2) > 0 car le produit de deux nombres positifs donne un résultat positif.
Et [2(b-a)](ab(a+b)-2) / ab > 0 car le quotient de deux nombres positifs donne un résultat positif.
==> S(b) - S(a) > 0 donc S(a) < S(b)
On a a < b et S(a) < S(b) donc la fonction S est croissante sur l'intervalle ]1;+inf[.
Voila ce que j'ai fais. Qu'en penses-tu ?!
Sur la dernière question, il me demande de dresser le tableau de variation de la fonction S et de donner les dimensions de la boîtes dont l'aire est minimale. Je l'ai fait, et l'aire de la boîte est minimale quand S(x)=6. Voila
Je rectifie un peu ta phrase :
On prends deux réels quelconques de l'intervalle donné tels que a < b puis on compare f(a) et f(b) ou on étudie de signe de f(b)-f(a).
Et non, ça ne marche pas à tous les coups. Il faut que la fonction soit monotone et continue (notions vues en 1ère et Terminale) sur l’intervalle considéré.
Exemple : Restons sur la fonction S(x) = 2x² + 4/x mais essayons de déterminer le sens de variation
sur I = ]0, 4[ cette fois.
On prend deux réels quelconques de I, par ex : a=1/2 et b=2
1/2 < 2
S(1/2) < S(2)
Car 8,5 < 10
S serait alors croissante sur I
Or, si on prend deux autres réels a=1/2 et b=1
1/2 < 1
S(1/2) > S(1)
Car 8,5 > 6
On en déduirait cette fois que S est décroissante sur I --> Contradiction
En réalité, sur I, la fonction n’est ni croissante, ni décroissante. Elle est décroissante sur ]0 ;1[ et croissante sur ]1 ;+inf[, elle passe par un minimum au point de coordonnées (1;6).
Mais pas d’inquiétude, les énoncés guident l’élève avec des intervalles judicieusement choisis, sans piège ... pour l'instant.
Quand vous aurez vu en 1ère la méthodologie complète d’étude de fonction (dérivation comprise), la question de ce type d'exo se résumera à "Déterminez les dimensions de la boite la moins couteuse".
Vous serez capables de définir vous-même ces intervalles "qui vont bien" et les points particuliers de la courbe représentative.
, j'ai mis un point.
