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Envoyé: 20.08.2009, 12:08
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pff je cherchais les limites de la dérivée c'est sur que ça me paraissait bizarre
lim en - ∞
e-x=+∞
-2x+1= +∞
donc lim f'(x)=+∞
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Envoyé: 20.08.2009, 12:17
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Ok, c'est mieux.
Vérifie qu'en +∞, ça fonctionne toujours en 0 et je te laisse continuer (démontrer que si x ∈ I alors |f'(x)| ≤ 1/2)
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Envoyé: 20.08.2009, 12:31
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oui ça fonctionne
f'(x) est décroissante sur ]-∞;+∞[
0≤f'(x)≤ +∞
or 0≤1/2
donc |f'(x)≤1/2|
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Envoyé: 20.08.2009, 12:37
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Attention, de quels "x" parles-tu ?
Quand tu écris |f'(x)|, c'est la distance entre un point d'abscisse x de ta courbe et l'axe des abscisses.
Je suis d'accord quand f'(x) est proche de 0, on a nécessairement |f'(x)| ≤ 1/2.
Mais quand x=-10 par exemple ?
De quels "x" on te parle pour cette question ?
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Envoyé: 20.08.2009, 14:00
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de la distance avec a?
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Envoyé: 20.08.2009, 14:36
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Non, là, c'est entre f'(x) et 0 : |f'(x)| = |f'(x) - 0|
On veut savoir si f'(x) est proche de 0 (peu importe si c'est supérieur ou inférieur, c'est pour cela qu'on utilise la valeur absolue).
On ne te parle de alpha ("a" ou "alpha" d'ailleurs ?) que pour la distance avec f(x), pas sa dérivée 
Qu'est-ce que ça peut bien apporter que f'(x) soit proche de 0 ?
Les x pour lesquels on te demande que ça fonctionne sont : x ∈ I = [1; 5/4] et pas forcément les autres...
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Envoyé: 20.08.2009, 18:38
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j'ai beau cherché , je ne sais pas!
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Envoyé: 20.08.2009, 19:36
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Il faut que tu appliques le corollaire du TVI sur l'intervalle I sur la fonction f'. f' est strictement décroissante sur cet intervalle.
Tu devrais trouver que -1/2 ≤ f'(x) ≤ 1/2 c'est-à-dire |f'(x)| ≤ 1/2
Cela signifie que les variations de f sont faibles à cet intervalle... et c'est intéressant pour la suite 
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Envoyé: 20.08.2009, 19:50
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f' est continue et strictement décroissante sur [1; 5/4]
]lim x→-1 f'(x); lim x→5/4 f'(x)[ = [3e-1; (-7/2)e-5/4]
D'après le corollaire du TVI (théorème de la bijection), l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution sur I.
encadrement de cette valeur:
les valeurs dans cette intervalles sont toutes négatives!!
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Envoyé: 20.08.2009, 20:00
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Attention aux erreurs d'étourderie !!!
As-tu un papier et un crayon avec toi ?
Quand les bornes sont fermées [1; 5/4], pas besoin d'utiliser les limites.
N'oublie pas que si la fonction est décroissante, il faut inverser les bornes d'arrivées.
Je te laisse recommencer. Ici, on ne recherche pas de solution de l'équation f'(x) = 0 mais juste un encadrement de f'(x) quand x ∈ I.
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Envoyé: 20.08.2009, 22:31
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f' est continue et strictement décroissante sur [1; 5/4]
D'après le corollaire du TVI (théorème de la bijection), l'équation f'(x) ≤1/2 admet une unique solution sur I
comme ça?
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Envoyé: 20.08.2009, 22:57
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Désolé, je te fais faire des bêtises en fait. Il n'y a pas besoin du TVI ici.
Il suffit juste de dire :
1 ≤ x ≤ 5/4
f'(5/4) ≤ f'(x) ≤ f'(1) (car f' est décroissante sur [1; 5/4])
-3/2e-5/4 ≤ f'(x) ≤ -e-1
-3/2e-5/4 ≈ -0,43
-e-1 ≈ -0,37
Donc on peut écrire :
-0,44 ≤ -3/2e-5/4 ≤ f'(x) ≤ -e-1 ≤ -0,36
(on ajoute un dixième de part et d'autre pour être sûr d'être derrière les bornes -3/2e-5/4 et -e-1)
D'où -0,44 ≤ f'(x) ≤ -0,36
On a donc bien -0,5 ≤ -0,44 ≤ f'(x) ≤ -0,36 ≤ 0,5
c'est-à-dire : -0,5 ≤ f'(x) ≤ -0,5 ou encore |f'(x)| ≤ 0,5
Tu as compris ? J'espère ne pas t'avoir trop perdue !
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Envoyé: 20.08.2009, 23:02
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ça me rassure car je ne comprenais pas pourquoi on utiliserait le TVI par contre moi j'aurai dit -7/2e-5/4 au lieu de -3/2e-5/4 non?
mais autrement c'est hyper clair, un bon modèle de rédaction!!
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Envoyé: 20.08.2009, 23:11
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f'(x)=e-x(-2x+1)
f(5/4) = e-5/4(-2(5/4)+1)
= e-5/4(-5/2 + 1)
= e-5/4(-3/2)
= -3/2e-5/4
Tu as pris la bonne version de f'(x) ? Tu n'as pas confondu avec f ?
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Envoyé: 20.08.2009, 23:20
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oui merci d'avoir vérifié je ne sais pas pourquoi j'ai mis -1 au lieu de +1 !!
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Envoyé: 20.08.2009, 23:44
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3.b) Comme on a :
|f'(x)| ≤ 0,5
|f(x)/x|≤0.5
|f(x)|≤0.5x
|f(x)-a≤0.5(x-a)|
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Envoyé: 21.08.2009, 00:08
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Attention, tu ne peux pas faire ce que tu veux avec les valeurs absolues ! Rappelle toi que |a - b| représente la distance entre a et b.
Tu ne peux pas écrire :
|f(x)-a≤0.5(x-a)| (le ≤ n'a pas sa place dans une valeur absolue)
Pour continuer, il faut te rappeler de ce que désigne "a"...
Je te laisse y réfléchir, bonne soirée !
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Envoyé: 21.08.2009, 18:10
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j'ai tenté...
a désigne la valeur quand la fonction s'annule
la distance entre f(x) et a est égale à |f(x)-a|
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Envoyé: 24.08.2009, 00:05
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Bonsoir Bully,
Désolé pour le délai, j'étais en weekend...
J'en profite pour inviter les autres professeurs qui passeront par là à ne pas hésiter à continuer (sous réserve de temps !) des sujets sur lesquels je suis passé si je ne suis pas dans les parages... Merci
Oui, ta réponse est bonne mais en fait "a" est encore plus spécial que ça : il désigne une solution de l'équation f(x) = x
Quand une constante désigne une solution d'une équation, cela veut dire que l'équation réécrite en remplaçant l'inconnue par la solution est "valide", "cohérente"...
Donc par exemple, ici : "f(a) = a" est "quelque chose dont on est sûr" (et non plus une équation à résoudre) ! Confirme-moi que cela est déjà clair pour toi (ou pas) car c'est quelque chose d'important.
En sachant ça, tu peux écrire : |f(x)-a| ≤ 1/2|x-a|
d'une manière différente, plus "homogène" maintenant que tu as le droit de remplacer tous les "a" que tu veux par "f(a)" (il faut trouver lequel maintenant !)
Après, ça, il faudra passer par l'inégalité des accroissements finis. Tu te rappelles bien de cette propriété ?
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Envoyé: 29.08.2009, 22:51
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merci
oui je pense avoir compris, mais juste je ne peux pas remplacer f'(x) par f(x)-a
par contre je ne connais ps l'inégalité des accroissements finis?
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Envoyé: 30.08.2009, 00:17
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En fait, il faut déjà transformer pour avoir quelque chose de plus homogène :
|f(x)-a| ≤ 1/2|x-a|
|f(x)-f(a)| ≤ 1/2|x-a| car f(a) = a (c'est une solution de l'équation f(x) = x)
Maintenant, imagine une voiture sur un certain trajet.
Elle part à une heure "a" et arrive à une heure "b".
Si f(x) désigne la distance parcourue (en kilomètres) à l'heure x, elle a parcouru f(b) - f(a) kilomètres en (b - a) heures.
Sa vitesse moyenne peut s'écrire :
-f(a)}{b-a} "\frac{\text{distance}}{\text{temps}} \, = \, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}")
Sa vitesse instantanée à l'heure x, c'est sa dérivée : f'(x).
On appelle sa vitesse maximale k sur le trajet.
On est d'accord que pour pour tous les x de [a; b] (à tout moment du trajet),
f'(x) ≤ k (elle ne peut pas aller plus vite que sa vitesse maximale)
On peut dire également que la vitesse moyenne de la voiture sur le trajet [a; b] est inférieure à la vitesse maximale. Cela s'écrit donc :
-f(a)}{b-a} \le k "\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le k")
C'est ce qu'on appelle l'inégalité des accroissements finis. On l'énonce avec des valeurs absolues autour car notre fonction n'est pas forcément monotone sur [a; b] (que croissante ou que décroissante).
Soit f définie sur un intervalle [a; b] tel que a < b
Si f est continue sur [a; b] ;
f est dérivable sur ]a; b[ ;
il existe k ∈  positif tel que pour tout x ∈ ]a; b[, f'(x) ≤ k ;
alors :
-f(a)}{b-a} \right| \le k "\left| \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right| \le k")
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Envoyé: 30.08.2009, 11:52
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ah d'accord, merci
donc a=x et b=a
et k=1/2
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Envoyé: 30.08.2009, 23:19
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Oui, c'est bien ça. Je te laisse l'appliquer de la façon suivante :
* f est définie sur donc sur l'intervalle [...; ...]
* f est continue sur [...; ...] (car dérivable sur )
* f est dérivable sur donc sur ]...; ...[
* Pour tout x ∈ [...; ...], f'(x) ≤ 1/2 (démontré précédemment pour x ∈ I et [...; ...] ⊂ I)
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :
 - f(\cdots)}{\cdots - \cdots} \right| \leq \frac{1}{2} "\left| \frac{f(\cdots) - f(\cdots)}{\cdots - \cdots} \right| \leq \frac{1}{2}")
Voilà, je te laisse compléter les ... !
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Envoyé: 31.08.2009, 20:05
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1)[x; a]
2)[x; a]
3)]x; a[
4)[x; a]
f(a)-f(x)/(x-a)≤1/2
c'est possble ça? 
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Envoyé: 01.09.2009, 00:25
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Oui, c'est ça ou presque.
Si tu suis bien la formule en appliquant avec x et a, tu obtiens :
(x < a) donc pour l'intervalle [x; a]
 - f(x)}{a - x} \right| \leq \frac{1}{2} "\left|\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \right| \leq \frac{1}{2}")
(n'oublie pas les valeurs absolues !)
Si x > a (c'est possible aussi, il peut être de l'autre côté !)
 - f(a)}{x - a} \right| \leq \frac{1}{2} "\left|\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right| \leq \frac{1}{2}")
Et en fait c'est le même résultat (si tu multiplies par -1 au numérateur de au dénominateur)
Maintenant, à ton avis, peut-on dire que :
 - f(x)}{a - x} \right| = \frac{\left| f(a) - f(x) \right|}{\left| a - x \right|} "\left|\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \right| = \frac{\left| f(a) - f(x) \right|}{\left| a - x \right|}") ?
ou plus généralement, pour deux nombres x et y ∈, est-ce qu'on a :
|x * y| = |x| * |y| ?
Et si oui, pourquoi ?
Tu es sur la bonne voie, je te laisse continuer
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Envoyé: 01.09.2009, 11:46
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ok
oui car le produit des modules est le module des produits, on l'a démontré cette année!
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