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Envoyé: 20.08.2009, 11:21
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Constellation
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ah oui mais je ne pensais pas trouver ça mais I2k+1=(2*4*...*2k] / [ 1*3*5*...*(2k-1)]*1/(2k+1) car on me donne ça?
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Envoyé: 20.08.2009, 11:30
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Galaxie
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Ah ok, je comprends mieux tes ennuis  en fait la formule qui te permet de fonder ta récurrence est la suivante :
In = [(n-1)/n]*In-2
Donc elle ne relie que les I de rang pair entre eux ou de rang impair entre eux.
Donc il faut faire deux démonstrations par récurrence : une pour montrer une première formule valable pour les rangs pairs (2n), une deuxième valable pour les rangs impairs (2n + 1).
Là, tu viens de faire les rangs pairs. Il faut que tu refasses une démo du même type pour les rangs impairs
1) rang n = 0 : 2n+1 = 1
2) vérifiée au rang n = k ⇒ I2k+1 = ... (hypothèse de récurrence)
Je te laisse continuer
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Envoyé: 20.08.2009, 19:17
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Constellation
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I2k+1=[2*4*6*...*2k]/[1*3*5*...*(2k-1)]
1ère étape:
I3= 2
I3= 3-1/3 I1 = 2/3
je ne trouve pas la même chose
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Envoyé: 20.08.2009, 19:50
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Galaxie
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Attention, la propriété à démontrer est incomplète (compare avec l'énoncé).
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Envoyé: 20.08.2009, 20:08
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Constellation
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ah oui j'ai oublié une parti et je touve la même chose pour la 1ère étape
2ème étape:
on suppose qu'il existe un réel k quelconque (n≥1) tel que Pk est vraie c'est à dire que propositionI2k= (1*3*5...*(2k-1)) / (2*4*6*...*2k) *π/2
et sous cette hypothèse on démontre que Pk+1 est vraie c'est à dire que propositionI2k+1= / (2*4*6*...*2k) /(1*3*5...*(2k-1)) *1/(2k+1)
ce n'est pas trop logique?
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Envoyé: 20.08.2009, 20:14
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Galaxie
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Oui, ce n'est pas trop logique parce que tu mélanges les 2 formules. Elles sont indépendantes. Là, tu ne dois travailler qu'avec les indices impairs et ne pas utiliser la 1ère formule que tu as déjà démontrée (pour les indices pairs).
Donc ça donne :
On suppose qu'il existe k ≥ 1 tel que Pk est vraie, c'est-à-dire :
I2k+1= / (2*4*6*...*2k) /(1*3*5...*(2k-1)) *1/(2k+1)
Au rang k + 1, on calcule
I...
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Envoyé: 20.08.2009, 22:53
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Constellation
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ok merci:
Pk+1
I2k+2=[(2*4*6*...*2k+1 /(1*3*5*...*2k)] * 1/2k+2
I2(k+1)=[(1*3*5*...*(2(k+1)-1) /(2*4*6*...*2k*2(k+1))]* π/2
je suis bien parti?
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Envoyé: 20.08.2009, 23:07
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Galaxie
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Pas tout à fait. On doit arriver sur un indice impair.
Rang k : indice 2k + 1
Rang k + 1 : indice 2(k + 1) + 1 = 2k + 3
I2k+3 = ...
Dans les ... on doit retrouver I2k+1 et donc utiliser l'hypothèse de récurrence (la formule avec l'indice impair)
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Envoyé: 20.08.2009, 23:16
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Constellation
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I2k+3=[(2*4*6*...*2k+3 / (1*3*5*...*2k+1)] * 1/2k+3
je peux simplifier par 2k+3
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Envoyé: 20.08.2009, 23:53
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Galaxie
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Tu y es presque mais comment arrives-tu à ce résultat ?
Tu peux calquer sur le travail que tu as fait avant (pour la formule sur les indices pairs).
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Envoyé: 21.08.2009, 18:13
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Galaxie
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Bonjour,je suis ce message car je révise en même temps 
moi je penserais à Pk+1= I2(k+1)+1
et vous?
modifié par : bully5, 21 Août 2009 - 18:19
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Envoyé: 24.08.2009, 00:50
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Galaxie
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(re)Bonjour à tous les deux :
Exactement Bully,
Au rang k + 1, il faut trouver à quoi est égale : I2(k+1)+1 = I2k+3
Petite remarque toutefois, Pk est une propriété. On peut dire d'elle qu'elle est vraie/fausse, mais on ne peut pas dire
Pk = [expression algébrique avec "des nombres" ou des "lettres qui désignent des nombres"]
Par contre on a le droit d'écrire :
Pk : [expression algébrique avec "des nombres" ou des "lettres qui désignent des nombres" suivie de "=" et d'une autre expression du algébrique]
...qui se lit : Pk "désigne"/"correspond à"/"dit que" [1ère expression = 2e expression], par exemple :
<img style="vertical-align:middle;" alt="P_k \quad : \quad I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}" title="P_k \quad : \quad I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?P_k \quad : \quad I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}">
La nuance, c'est juste qu'on a mis ":" à la place de "=" (et la suite change aussi) mais c'est une nuance de rédaction importante !
C'est comme si on écrivait 2.5 = [2; 3] (qui ne veut rien dire) au lieu de 2.5 ∈ [2; 3]
L'indice est donc bien 2(k+1) + 1 = 2k + 3. C'est un indice impair, et on ne travaillera qu'avec des propriétés valides pour les indices impairs (ou valides partout : pair et impair). Ces propriétés sont :
 (valide partout, démontrée à la question 1)
<img style="vertical-align:middle;" alt="I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}" title="I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?I_{2k+1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}
{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} \times \frac{1}{2k+1}"> (valide sur indices impairs, c'est l'hypothèse de récurrence).
Les formules originales sont écrites avec des "n", mais je les ai réécrites avec des "k", ça ne change rien et c'est plus homogène avec les démonstrations...
Une fois qu'on sait ça (je récapitule la méthode utilisée sur la démonstration pour les indices pairs), on peut utiliser ces formules pour :
- écrire I2(k+1)+1 en fonction de I2k+1
- transformer I2k+1 (dans l'expression trouvée)
- transformer l'expression finale et observer qu'on retrouve presque l'hypothèse de récurrence, mais au rang (k+1), c'est-à-dire l'indice (2(k+1)+1).
Un coup de pouce pour vérifier facilement que c'est bien similaire :
Dans la propriété au rang k, on a :
- indice : 2k+1
- première fraction, fin du numérateur : (2k)
- première fraction, fin du dénominateur : (2k-1)
- deuxième fraction, dénominateur : (2k+1)
Il faut juste compléter ce schéma au rang (k+1)
- indice : 2(k+1)+1 (ou encore 2k+3)
- première fraction, fin du numérateur : (...)
- première fraction, fin du dénominateur : (...)
- deuxième fraction, dénominateur : (...)
...et vérifier qu'on obtient bien tous les (...) dans les fractions, à la fin de nos calculs de I2(k+1)+1.
A vos réponses !
modifié par : oli, 24 Août 2009 - 01:05
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Envoyé: 30.08.2009, 11:40
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Constellation
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merci beaucoup^^
•première fraction, fin du numérateur : (2k+3)
•première fraction, fin du dénominateur : (2k+2)
•deuxième fraction, dénominateur : (2k+4)
comme ceci?
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Envoyé: 30.08.2009, 23:32
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Galaxie
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Bonsoir samie, de rien !
Alors, on y est presque, mais pas tout à fait... Regarde bien :
Pour le rang k :
- indice : 2k+1
- première fraction, fin du numérateur : (2k) ("-1" par rapport à l'indice)
- première fraction, fin du dénominateur : (2k-1) ("-2" par rapport à l'indice)
- deuxième fraction, dénominateur : (2k+1) ("=" l'indice)
Une fois que tu as obtenu ce qu'il faut (je te fais confiance), il faut écrire le calcul au rang k +1 soit à l'indice 2k + 3 :
I2k+3 = [quelque chose en fonction de I2k+1] (utiliser la propriété démontrée en 1)
Et en arrangeant l'ordre de tes produits, le résultat devrait apparaître
(n'oublie pas que c * a * b = a * b * c)
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Envoyé: 31.08.2009, 20:57
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Constellation
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merci mais moi je ne me fais pas confiance^^:
•indice : 2(k+1)+1
•première fraction, fin du numérateur : (2k) ("-3" par rapport à l'indice)
•première fraction, fin du dénominateur : (2k-1) ("-4" par rapport à l'indice)
•deuxième fraction, dénominateur : (2k+1) (-2 par rapport à l'indice)
I2k+3=(2k+2)/(2k+3) * I2k+1
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Envoyé: 01.09.2009, 00:39
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Galaxie
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Pas de problème. L'essentiel est d'y arriver ;)
Alors regarde bien le schéma que je t'ai donné, en fait, je ne te demande pas de réécrire le ("..." par rapport à l'indice), ça doit rester toujours pareil. Par contre, il faut que tu réécrives le (...) avec le k.
C'est très bien pour la formule de la fin. Tu vas pouvoir calculer en détaillant à quoi est égal I2k + 1 maintenant (grâce à l'hypothèse de récurrence puisqu'on a considéré que la formule qu'on doit démontrer fonctionne pour I2k + 1).
Tu peux déjà commencer les calculs et retrouve moi les bons indices, ça t'aidera pour identifier le résultat à la fin.
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Envoyé: 05.09.2009, 23:29
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Constellation
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je ne vois pas mon erreur, dans mon message du 30.08 à 11h40,
je ne vois pas ce que je dois faire :?
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Envoyé: 06.09.2009, 19:02
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Galaxie
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Ok, pas de problème, voilà, la solution, dis-moi si tu comprends bien le principe et si tu as compris ton erreur :
Dans le schéma que je t'ai donné, il y avait :
a) ("-1" par rapport à l'indice)
b) ("-2" par rapport à l'indice)
c) ("=" l'indice)
Cela signifie que pour trouver ce que je te demandais, il fallait faire les opérations :
a) indice - 1 = 2k + 3 - 1 = 2k + 2
b) indice - 2 = 2k + 3 - 2 = 2k + 1
c) "=" l'indice = 2k + 3
Ce qui donne :
* indice : 2(k+1) + 1 = 2k + 3
* première fraction, fin du numérateur : (2k+2) ("-1" par rapport à l'indice)
* première fraction, fin du dénominateur : (2k+1) ("-2" par rapport à l'indice)
* deuxième fraction, dénominateur : (2k+3) ("=" l'indice)
Si tu as compris le principe, tu peux continuer avec la formule de 31.08.2009, 20:57 en détaillant pour arriver à un résultat qui correspond bien à ce qu'on doit "trouver" pour "première fraction, fin du numérateur", "première fraction, fin du dénominateur", "deuxième fraction, dénominateur".
Voilà, n'hésite pas s'il y a le moindre problème
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