Pour résoudre dans R ( ensemble des réels) l'équation :
x = x²+1 , je procède ainsi :
Si x = x² + 1 ,
alors x = x(x²+1) + 1 ( j'ai remplacé un "x" par x²+1 )
donc x = x3 + x + 1
donc x3 = -1
Dans R, cette équation admet une seule solution : -1.
Or, il est immédiat de voir que -1 ne vérifie pas l'égalité donnée au départ ...
Trouvez l'erreur.
Mathtous
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On n’a pas le droit de poser x = x² + 1 pour tout x puisque cette égalité ne serait rigoureusement vraie que pour les solutions éventuelles de l’équation x = x²+1 (aucune racine réelle ici).
Mathtous
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Si 3 = 5
alors 4=4.
Cette implication est vraie bien que 3=5 soit faux.
Il faut chercher autre chose, mais en se basant quand même sur mon si ... alors
Mathtous
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Tu ty es presque.
En effet, il n'y a pas d'erreur , c'est simplement le raisonnement qui est incomplet.
Ma dernière phrase " Trouvez l'erreur " doit être remplacée par :
" Que conclure ? "
Par contre tes phrases bleues ne me satisfont pas :
x ≠ x² +1 est ambigü : il est plus simple de dire ce que j'avais dit : -1 n'est pas solution de l'équation donnée ( non pas à cause du discriminant mais par simple vérification directe ).
Pas besoin de discriminant ( j'y reviens plus loin ).
Je résume :
Si x = x²+1 ( x réel )
...
alors x = -1
Mais -1 n'es pas solution de l'équation,
Donc : l'équation n'admet pas de solution dans R.
Et cela sans discriminant.
Mais on peut aller plus loin.
L'équation n'admet pas de solution dans R, mais elle en admet 2 dans C ( l'ensemble des complexes ).
Quelles sont ces deux solutions ? Sans utiliser de discriminant ni "formule" y faisant appel.
Mathtous
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Je me rappelle pas très bien de l'ensemble des complexes mais voici ma proposition :
on a x = x²+1
alors x = x²-1 +2
x = (x+1)(x-1) +2
-2 = (x+1)(x-1)-x
-2 = (ײ-2*1/2*×+ (1/2)²) -5/4
-2 + 5/4 = (× - 1/2) ²
-3/4 = (× - 1/2) ²
D ici on peut constater que l equation n admet pas de solution en ℜ
Alors dans C
on a (× - 1/2) ² + 3/4 =0
( (× - 1/2) ² - (- (√3/4)²)) =0
donc x-1/2+√3/4 =0 ou x-1/2-√3/4 =0
alors x = 1/2-√3/4 ou x= 1/2+√3/4
J'ai trouvé les solutions complexes sans passer la méthode du delta.
C'est encore brouillon et il faut encore que j'arrive à passer de la
racine cubique de (3√3/8) à √3/2 je ne sais pas encore comment faire.
Mais ce soir, je n'ai pas le temps, je pars ... à plus tard.
Non : le calcul est faux ici :
Mais lis plus haut : On arrive à x3 = -1 que l'on peut résoudre dans C.
Mathtous
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Ben non : de toute façon c'est un réel et l'équation initiale n'a pas de racine réelle.
Et ce n'est pas une racine de x3 = -1.
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Pas grave, mais je me demande comment CQFD parvient à ses racines cubiques ?
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J'en ai honte ... mais tant pis. J'ai fait ça trop précipitamment et me suis lancé dans une résolution via la forme algébrique.
z=a+bi
z3=-1
(a3-3ab2) + i (3a2b - b3) = -1
soit le syst :
| a3-3ab2 = -1 (1)
| et
| 3a2b - b3 = 0 (2)
avec (2) : a = |b|/√3
. Si b>0 alors a = b/√3
(1) devient :
(23/((√3)3).b3 = 1 soit b = √3/2 (merci Zauctore !)
et donc a = 1/2
. Si b<0 alors a = -b/√3
(1) devient :
(23/((√3)3).b3 = -1 soit b = -√3/2
et donc a = 1/2
Les solutions : z1 = 1/2 + (√3/2) i et
z2 = 1/2 - (√3/2) i
A tête reposée . . . et en voyant les solutions e/3 et e-/3 la forme exp aurait été bien plus solft !
avec z = r.eiΘ
z3 = -1
| r3.ei3Θ = ei
| ou
| r3.ei3Θ = e-i
r3 = 1
et
Θ = /3 ou Θ = -/3
Quelle connerie de ne pas y avoir pensé immédiatement ! On a la fâcheuse tendance à foncer dans les calculs algébriques dans .
Je galère avec les dénombrements en ce moment. J’ai un ds vendredi et je ne me sens pas clean . . . alors au boulot. Le cours ne suffit pas pour ce truc là ! C'est assez tordu.
Oui, tes résultats sont justes.
Mais tu dois être un adepte du principe :
"pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué " ?
L'équation x3 = 1 admet 3 racines dans C:
1 ; j ; et j² .
Donc l'équation x3 = -1 admet les 3 racines :
-1 ; -j ; et -j².
-1 n'est pas racine de l'équation donnée ; restent j et j².
Avec évidemment j = 1/2 + i√3/3 et j² son conjugué.
Mathtous
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j est l'une des 3 racine cubiques de 1.
Je l'ai dit ci-dessus : j = 1/2 + i√3/2 = eiπ/3
Trace le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan d'Argand-Cauchy, place le point A d'affixe 1 , et partage le cercle en 3 parties égales à partir de A. Tu obtiens les points J d'affixe j et J' d'affixe j² = conjugué de j.
Mathtous
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et je grille ma dernière cartouche :
x = x²+1 :
/3 et e-
.
