Trouvez l'erreur


  • M

    Pour résoudre dans R ( ensemble des réels) l'équation :
    x = x²+1 , je procède ainsi :
    Si x = x² + 1 ,
    alors x = x(x²+1) + 1 ( j'ai remplacé un "x" par x²+1 )
    donc x = x3x^3x3 + x + 1
    donc x3x^3x3 = -1
    Dans R, cette équation admet une seule solution : -1.
    Or, il est immédiat de voir que -1 ne vérifie pas l'égalité donnée au départ ...
    Trouvez l'erreur.


  • C

    Salut mathtous,

    On n’a pas le droit de poser x = x² + 1 pour tout x puisque cette égalité ne serait rigoureusement vraie que pour les solutions éventuelles de l’équation x = x²+1 (aucune racine réelle ici).

    C’est pas ça ?


  • M

    Je ne "pose" rien.
    Lis :
    Si ...
    alors ...


  • C

    Bon, une autre tentative alors :

    "Si x = x² + 1" --> Cela n'est jamais vrai, tout simplement (discriminant négatif).
    Le raisonnement est donc faux.


  • M

    Si 3 = 5
    alors 4=4.
    Cette implication est vraie bien que 3=5 soit faux.
    Il faut chercher autre chose, mais en se basant quand même sur mon si ... alors


  • C

    Bon, j'insiste 😊 et je grille ma dernière cartouche :

    Il n’y a pas d’erreur, c’est le raisonnement qui ne va pas jusqu’au bout :

    Si . . .
    Alors . . .
    Donc . . .

    Or / Mais . . .
    Donc . . .

    Ce qui donne:

    On veut résoudre dans mathbbRmathbb{R}mathbbR x = x²+1 :
    Si x = x² + 1 ,
    Alors x = x(x²+1) + 1 (un "x" remplacé par x²+1 )

    Donc x3x^3x3 = -1

    Or x ≠ x² + 1 car le discriminant est strictement négatif.

    Donc x3x^3x3 ≠ -1

    Cette méthode ne conduit à aucun renseignement supplémentaire, elle ne permet pas la résolution de l’équation.
    .


  • M

    Tu ty es presque.
    En effet, il n'y a pas d'erreur , c'est simplement le raisonnement qui est incomplet.
    Ma dernière phrase " Trouvez l'erreur " doit être remplacée par :
    " Que conclure ? "
    Par contre tes phrases bleues ne me satisfont pas :
    x ≠ x² +1 est ambigü : il est plus simple de dire ce que j'avais dit : -1 n'est pas solution de l'équation donnée ( non pas à cause du discriminant mais par simple vérification directe ).
    Pas besoin de discriminant ( j'y reviens plus loin ).
    Je résume :
    Si x = x²+1 ( x réel )
    ...
    alors x = -1
    Mais -1 n'es pas solution de l'équation,
    Donc : l'équation n'admet pas de solution dans R.

    Et cela sans discriminant.
    Mais on peut aller plus loin.
    L'équation n'admet pas de solution dans R, mais elle en admet 2 dans C ( l'ensemble des complexes ).
    Quelles sont ces deux solutions ? Sans utiliser de discriminant ni "formule" y faisant appel.


  • E

    Je me rappelle pas très bien de l'ensemble des complexes mais voici ma proposition :

    on a x = x²+1
    alors x = x²-1 +2
    x = (x+1)(x-1) +2
    -2 = (x+1)(x-1)-x
    -2 = (ײ-21/2×+ (1/2)²) -5/4
    -2 + 5/4 = (× - 1/2) ²
    -3/4 = (× - 1/2) ²
    D ici on peut constater que l equation n admet pas de solution en ℜ
    Alors dans C

    on a (× - 1/2) ² + 3/4 =0
    ( (× - 1/2) ² - (- (√3/4)²)) =0
    donc x-1/2+√3/4 =0 ou x-1/2-√3/4 =0
    alors x = 1/2-√3/4 ou x= 1/2+√3/4

    on met alors x=z=a+ib

    donc on aura : a+ib= 1/2-√3/4 ou a+ib=1/2+√3/4

    alors z=1/2 -i√3/4 ou z=1/2+√3/4

    est-ce bien ça ?


  • C

    J'ai trouvé les solutions complexes sans passer la méthode du delta.
    C'est encore brouillon et il faut encore que j'arrive à passer de la
    racine cubique de (3√3/8) à √3/2 je ne sais pas encore comment faire.

    Mais ce soir, je n'ai pas le temps, je pars ... à plus tard.


  • Zauctore

    salut

    3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}3833=323(3)3

    ça t'ira ?


  • M

    Eraprincess
    Je me rappelle pas très bien de l'ensemble des complexes mais voici ma proposition :

    on a x = x²+1
    alors x = x²-1 +2
    x = (x+1)(x-1) +2
    -2 = (x+1)(x-1)-x
    -2 = (ײ-21/2×+ (1/2)²) -5/4
    -2 + 5/4 = (× - 1/2) ²
    -3/4 = (× - 1/2) ²
    D ici on peut constater que l equation n admet pas de solution en ℜ
    Alors dans C

    on a (× - 1/2) ² + 3/4 =0
    ( (× - 1/2) ² - (- (√3/4)²)) =0
    donc x-1/2+√3/4 =0 ou x-1/2-√3/4 =0
    alors x = 1/2-√3/4 ou x= 1/2+√3/4

    on met alors x=z=a+ib

    donc on aura : a+ib= 1/2-√3/4 ou a+ib=1/2+√3/4

    alors z=1/2 -i√3/4 ou z=1/2+√3/4

    est-ce bien ça ?

    Non : le calcul est faux ici :
    Citation
    -2 = (ײ-21/2×+ (1/2)²) -5/4
    Mais lis plus haut : On arrive à x3x^3x3 = -1 que l'on peut résoudre dans C.


  • M

    Zauctore
    salut

    3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}3833=323(3)3

    ça t'ira ?
    Ben non : de toute façon c'est un réel et l'équation initiale n'a pas de racine réelle.
    Et ce n'est pas une racine de x3x^3x3 = -1.


  • Zauctore

    je répondais à CQFD (post 12.05.2009, 17:09).


  • M

    Zauctore
    je répondais à CQFD (post 12.05.2009, 17:09).
    OK désolé.


  • Zauctore

    c'est moi : j'ai manqué de précision.


  • M

    Pas grave, mais je me demande comment CQFD parvient à ses racines cubiques ?


  • C

    Zauctore
    salut

    3383=(3)3233\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{(\sqrt3)^3}{2^3}}3833=323(3)3

    ça t'ira ?
    Oui 😊 merci

    mathtous
    je me demande comment CQFD parvient à ses racines cubiques ?
    J'en ai honte ... mais tant pis. J'ai fait ça trop précipitamment et me suis lancé dans une résolution via la forme algébrique.

    z=a+bi

    z3z^3z3=-1

    (a(a(a^3−3ab2-3ab^23ab2) + i (3a2(3a^2(3a2b - b3b^3b3) = -1

    soit le syst :
    | aaa^3−3ab2-3ab^23ab2 = -1 (1)
    | et
    | 3a23a^23a2b - b3b^3b3 = 0 (2)

    avec (2) : a = |b|/√3

    . Si b>0 alors a = b/√3

    (1) devient :

    (23(2^3(23/((√3)33)^33)3).b3b^3b3 = 1 soit b = √3/2 (merci Zauctore !)

    et donc a = 1/2

    . Si b<0 alors a = -b/√3

    (1) devient :

    (23(2^3(23/((√3)33)^33)3).b3b^3b3 = -1 soit b = -√3/2

    et donc a = 1/2

    Les solutions :

    z1 = 1/2 + (√3/2) i et
    z2 = 1/2 - (√3/2) i

    A tête reposée . . . et en voyant les solutions $e^{$pi$/3}$ et $e^{-$pi$/3}$ la forme exp aurait été bien plus solft !

    avec z = r.eiΘe^{iΘ}eiΘ

    z3z^3z3 = -1

    | r3r^3r3.ei3Θe^{i3Θ}ei3Θ = $e^{i$pi$}$
    | ou
    | r3r^3r3.ei3Θe^{i3Θ}ei3Θ = $e^{-i$pi$}$

    r3r^3r3 = 1
    et
    Θ = pipipi/3 ou Θ = -pipipi/3

    Quelle connerie de ne pas y avoir pensé immédiatement ! On a la fâcheuse tendance à foncer dans les calculs algébriques dans mathbbCmathbb{C}mathbbC.

    Je galère avec les dénombrements en ce moment. J’ai un ds vendredi et je ne me sens pas clean . . . alors au boulot. Le cours ne suffit pas pour ce truc là ! C'est assez tordu.


  • M

    Oui, tes résultats sont justes.
    Mais tu dois être un adepte du principe :
    "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué " ?
    L'équation x3x^3x3 = 1 admet 3 racines dans 😄
    1 ; j ; et j² .
    Donc l'équation x3x^3x3 = -1 admet les 3 racines :
    -1 ; -j ; et -j².
    -1 n'est pas racine de l'équation donnée ; restent j et j².
    Avec évidemment j = 1/2 + i√3/3 et j² son conjugué.


  • C

    Je dois prblt aimer les complications ...

    Je vais encore paraître ridicule mais j, c'est quoi ?

    Pas trouvé dans mon bouquin, et ça ne me dit rien, je vais chercher.


  • M

    j est l'une des 3 racine cubiques de 1.
    Je l'ai dit ci-dessus : j = 1/2 + i√3/2 = eiπ/3e^{iπ/3}eiπ/3
    Trace le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan d'Argand-Cauchy, place le point A d'affixe 1 , et partage le cercle en 3 parties égales à partir de A. Tu obtiens les points J d'affixe j et J' d'affixe j² = conjugué de j.


  • C

    Je vais regarder cela

    Merci 😉


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