Une horloge trigonométrique


  • S

    Voilà un petit exercice auquel je me suis prêté par curiosité, je le pensais élémentaire mais en fin de compte il y a plein de petits détails qui en font je crois un exercice intéressant. C'est de l'analyse, principalement de la trigonométrie, niveau 1e S je dirais.

    Le but est de construire une horloge, donc les aiguilles tourneront dans le sens trigonométrique.

    On dispose d'un cadran, supposé circulaire (numéroté de 1 à 12 à partir du haut en tournant vers la gauche), posé sur une base carrée, la plus petite possible contenant le cadran (donc quatre fois tangent etc).

    Voilà un petit guide pour la construction, sachant que la position des aiguilles sera définie par les deux points qui délimitent (elles seront considérées comme segments).

    On place le repère orthonormé au centre du cadran, qu'on posera de rayon 1.
    Quelles sont les coordonnées d'un point sur le cercle, écarté d'un angle x avec l'axe des abscisses ?
    Quelles sont ces coordonnées dans le cas où le cadran est de rayon r ?
    Quelle extrémité des aiguilles aura toujours les mêmes coordonnées quelle que soit l'heure ?

    Observer le décalage entre le 0/2pipipi du cercle trigonométrique et le 0/12 d'une horloge habituelle. Quelle adaptation faudra-t-il opérer sur les coordonnées précédentes, pour un point écarté de l'axe des ordonnées d'un angle x ?

    Commençons par l'aiguille des minutes, combien de divisions le cercle trigonométrique doit-il comporter ? Multiplier l'angle x par la quantité correspondante.

    En partant sur la même base, par combien faut il multiplier pour obtenir seulement les divisions correspondant à l'heure ?

    On place maintenant l'origine du repère dans le coin supérieur gauche de la base carrée. Composer par la translation correspondante.

    Par souci technique, le vecteur unitaire des ordonnées sera opposé (orienté vers le bas), changer les coordonnées du point d'arrivée des aiguilles de manière adéquate.

    Un réalisme plus profond :

    Admettons que l'aiguille des heures soit deux fois plus petites que celles des minutes, quel changement opérer ?

    On veut que la place de l'aiguille des heures soit légèrement décalée en fonction de la minute, quelle quantité faut il ajouter, par quelle scalaire doit-elle être divisée ?

    Quelle légère modification permettrait de rétablir le sens "des aiguilles d'une montre" ?

    Voilà, et donc ça devient un exercice très simple de programmation nécessitant une libraire graphique minime (et accessoirement la disposition de l'heure).
    Désolé, l'exercice est assez mal formulé, j'ai pas l'habitude de partager ce genre de problèmes.

    http://hour.shloub.net (mon cadran est fait main, très moche)


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