EXERCICE DE CONGRUENCE

je voudrais des explications pour cet exercice, pour pouvoir le débuter voir même le finir.

étudiez suivant les valeurs de n, le reste de la division de $7^{n }$ par 10

2.on pose, pour tout entier naturel n :
A=1+7+... $+7nquelleestlechiffredesuniteˊsdeA?mercid′avancemodifieˊpar:couettecouette56,08Oct2005@17:19+7^{n quelle est le chiffre des unités de A? merci d'avance modifié par : couettecouette56, 08 Oct 2005 @ 17:19 }$

alors pourla divisin de 7^n par 10 j'ai une idée mais je suis pas sur que ce soit la bonne;

je propose 7²=49=4.10+9
donc 7²=9[10] et donc 7^2n=9^2n[10]

et 9^2n =(9²)^n j'isole 9² et je dit que cela vaut 9²=8*10+1

alors 9²=1[10] d'ou 9^2n=1[10] soit (9^n)²=1²[10]

et c'est ici que je sais plus si on peut ecrire que donc 9^n=1[10]

si c'est bon , en poursuivant par le fait que 7^2n=9^2n[10]

alors : (7^n)²=1[10] et 1 serait le reste cherché.

je m'occupe de l'exo suivant

Salut.
Il me semble qu'on a
$7^0$ = 1 mod 10
$7^1$ = 7 mod 10
$7^2$ = 49 = 9 mod 10
$7^3$ = 63 = 3 mod 10
$7^4$ = 21 = 1 mod 10
et on retrouvera donc la même suite de restes à partir de là :
$7^{4n}$ = 1 mod 10
$7^{4n+1}$ = 7 mod 10
$7^{4n+2}$ = 9 mod 10
$7^{4n+3}$ = 3 mod 10.
Ceci vient de ce que $7^4$ = 2401 = 1 mod 10.

Il faut aussi sans doute utiliser le fait que
9 = -1 mod 10
3 = -7 mod 10
pour réduire la somme $A_n$ selon les valeurs de n.