Etudier la position de la tangente à un cercle en seconde

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour mercredi. Je voudrais donc de l'aide pour faire celui-ci qui n'est pas trés simple. :frowning2:

Voilà l'énoncé :

**O est milieu d'un segment [AB].
$C_1$ et $C_2$ sont des demi-cercles de diamètre [AB] et [AO].
Une droite passant par A recoupe $C_1$ en M et $C_2$ en N.

Voir figure

a) Démontrer que les triangles AON et MON sont isométriques.
b) Démonter que N est le milieu de [AM].
c) Quelle est la position relative des tangentes a $C_1$ en M et à $C_2$ en N ? Justifier.**

Merci de votre aide. :rolling_eyes:

Bonjour ,
Quelle est la nature du triangle AON ?

pour la 1ère question, les triangles ont 2 côtés en commun ainsi qu'un angle droit

Il faut justifier que ces angles sont droits

D'accord !!
Je dois dire que les points N et M appartienent à un cercle, donc qu'ils possèdent un angle droit. Et leurs côtés sont de même mesure. Donc il ont un angle droit commun donc ils sont isométriques. C'est çà ? (en disant la propriété en entière)

C'est trop confus : M et N sont sur des cercles différents .
Commence par justifier pourquoi ANO est rectangle .

ANO est rectangle car il possède le point N sur son cercle $C_2$ . De plus on sait que AO est le diamètre du cercle $C_2$ . Comment faire pour démontrer que NMO est lui aussi rectangle ? Car il n'a pas pour côté le diamètre du cercle $C_2$ .. ?

Pour NMO , tu sais que les points A , N , et M sont alignés , et que l'angle ANO est droit , alors ?

On utilise Thalès, enfin, NMO est l'agrandissement de ANO non ?

Non , pas maintenant .
A , N , M sont alignés dans cet ordre ,
l'angleANO est droit , alors que peux-tu dire de
l'angleONM ?

Donc l'angle ONM ets égal à l'angle ANO, donc c'est aussi un angle droit.

J' aurais répondu dans l'autre sens : il est droit aussi , donc égal à l'angle ANO .
Passons aux triangles ANO et OMN :
ils ont ON = ON : le côté commun ,
OA = ?? (justifie)

OA = OM par .. Symétrie axiale (l'axe est ON) ?

Pas du tout : il faudrait
d'aborddémontrer l'existence de cette symétrie .
Ce n'est donc pas la bonne méthode .
AO = OM parce que ce sont deux ...???

Deux rayons !!!

C'est cela , mais il faut être précis : deux rayons du
mêmecercle (C1) .
Maintenant , il reste à comparer AN et NM : comment pourrait-on les calculer ?

Donc ils ont un côté en commun ---> ON.
OA = OM car ce sont 2 rayons.
Ils ont un angle droit.
Donc je peux en déduire qu'ils sont isométriques.

AN = NM mais pour les calculer, nous n'avons pas de valeurs alors on peut dire que NM = 1/2 AM et AN = 1/2 AM

Ton expression n'est pas assez précise : qui ça "ils" : les triangles ? , les côtés , lesquels ?
il ne me semble pas que les renseignements connus jusqu'ici suffisent à conclure .
C'est pour cela que je t'ai demandé :"il reste à comparer AN et NM : comment pourrait-on les calculer ?"

Les triangles AON et MON ont un côté en commun ---> ON.
OA = OM car ce sont 2 rayons.
Ils (triangles) ont un angle droit.
Donc je peux en déduire qu'ils sont isométriques.

Et AN = NM car NM = 1/2 AM et AN = 1/2 AM

"Donc je peux en déduire qu'ils sont isométriques."
Si tu penses que cela satisfaira ton professeur ...

"car NM = 1/2 AM et AN = 1/2 AM " : tu ne démontres rien .
Tu ferais mieux de suivre les conseils donnés .

Je peux en déduire que les triangles AON et MON sont isométriques. Que dire de plus.. ?
Pour démontrer je ne sais pas quoi dire d'autre .. :rolling_eyes:

Quel théorème permettrait de calculer AN , en fonction de AO et ON ?

C'est Pythagore !!!!

Oui : détaille les calculs :
AN² = ???

AO² = ON² + AN²
Donc AN² = AO² - ON²

Parfait .
Fais la même chose pour le triangle OMN :
NM² = ???

;

OM² = ON² + NM²
Donc, NM² = OM² - ON²

Résumons :
NM² = OM² - ON²
AN² = AO² - ON²
compare

Je peux dire que NM² = AN² ; OM² = AO² et ON² = ON². Les côtés sont donc égaux.

J'aurais dit :
ON² est le même dans les deux résultats , OA² = OM² ,
doncAN² = NM² , et donc AN = NM
Les deux triangles OMN et AON ont leurs côtés égaux , donc maintenant je peux affirmer qu'ils sont isométriques .

Tu peux passer à la question 2

Pour la 2) : N est un point du cercle $C_2$ . Je sais aussi que c'est un angle droit.

Non : un point n'est pas un angle !
Tu dois faire l'effort de t'exprimer de façon précise
On te demande de démontrer que
N est le milieu du segment [AM]
Tu sais que les points A,N,M sont alignés
tu sais aussi que ???

Je ne sais pas comment démontrer ça.. :frowning2:

mathtous
J'aurais dit :
ON² est le même dans les deux résultats , OA² = OM² ,
doncAN² = NM² , et donc AN = NM
Les deux triangles OMN et AON ont leurs côtés égaux , donc maintenant je peux affirmer qu'ils sont isométriques .

Tu peux passer à la question 2

N'a-t-il pas été démontré que AN = NM , alors ?

On a alors la réponse ici non ?
Je dirais : vu que AN = NM, AM = AN + NM.

Ce n'est pas faux mais sans rapport avec ce qui est demandé .
Un point I est le milieu d'un segment [UV] si IU = IV
ets'il est aligné avec U et V .
Ici , A,N,M sont alignés et AN = NM , donc N est le milieu de [AM]
C'est tout , c'était la question la plus simple .

Pour la question suivante, qu'est-ce qu'une "position relative des tangentes" ?

Elles pourraient être sécantes , ou parallèles , ou confondues

D'accord j'ai compris mais une tangente est une droite qui coupe un point, qui lui est situé sur un cercle.. ?