Etudier l'ensemble de définition et le sens de variation d'une fonction

Soit a un réel strictement positif.
On conbsidére la fonction f(x) = 2x/(x²+a)

Sur qel ensemble f est-elle définie ?

Donc moi j'ai dit que f est définie sur R soit ]-∞;+∞[ car comme x² est toujours positif et qu'on lui ajoute un nombre strictement positif, c'est toujours positif, il n'y a donc pas de valeur interdite.

Déterminer a pour que la courbe représentative de f admette au point d'abscisse 1 une tangente horizontale.
Pour la valeur de a trouvée au 2) étudier les variations de f.

Je n'arrive pas à faire la qst 2) une fois que j'aurais celle là je pourrais me débrouiller pour la 3) ...

Merci de bien vouloir m'éclairer .. !

Bonjour ,
pour la question 2 , il faut commencer par calculer la dérivée f'(x)

Bonjour,

merci, c'est ce que j'ai commencé à faire mais je bloke avec le a en fait

J'ai trouvé f'(x) = (-2x²+2a)/(x²+a)²

a est une
constante: c'est comme si tu avais
f(x) = 2x / (x²+3) , ou 2x / (x²+7) , etc...
tu saurais dériver f(x) = 2x / (x²+3) ?

Euh oui :

u(x)=2x u'(x)=2
v(x)=x²+3 v'(x)=2x

Donc f'(x) = (-2x²+3)/(x²+3)²

Meredith
J'ai trouvé f'(x) = (-2x²+2a)/(x²+a)²Correct .
Tu sais faire la suite ?

La dérivée avec a elle est bonne ou pas ?

Oui .
Regarde plus haut : les messages ont du se croiser .

Ah oui d'accord, désolée.

Bah non je ne comprends pas la question 2) je bloke aprés la dérivée ..

Tu as vu en cours que f' $x_0$ ) est le coefficient directeur ( pente ) de la tangente à la courbe au point $x_0$ , $f(x_0$ )).
Ici , $x_0$ = 1 ; que vaut f'(1) ?

Ah oui ! Je remplace x par 1 dans f'(x) ?

Eu non, dans f(x) plutôt ?

évidemment

d'accord je le fais

mais le a j'en fais quoi dans l'expression ?

Pour l'instant , tu le gardes .
Donne-moi ton résultat pour f'(1) .

Je trouve f'(1)=(-2+2a)/(1+2a+a²)

Est-ce ça ?

Euh nan , j'crois qu'il y a un beug non ?

Je peux simplifier par 2a donc f'(1)=-2/1+a²

Oui , mais inutile de développer le dénominateur .
Maintenant relis la question et regarde ce que je t'ai dit au sujet de la pente de la tangente :
on veut que la tangente au point (1 , f(1)) soit
horizontale: cela impose que f'(1) prenne une valeur particulière : laquelle ?

Bah f'(1)=0 puisque f'(1)=a et que a=0 puisqe c'es horizontal, pas de coeff directeur !

Si on e développe pas le dénominateur, ça reste f'(1)=(-2+2a)/(1+a)² ??

Tout est mélangé et contradictoire :
f'(1) = 0 : oui
f'(1) = a : non , cela contredit la ligne précédente
pas de coeff directeur : si ! il vaut 0

Résumons :
f'(1) = (-2+2a) / (1+a)²
(et pas f'(1) = a !!)
et on veut f'(1) = 0 : cela fournit une
équationpour trouver a
Pose et résous cette équation

Ah oui merde désolée .. j'ai compri ma faute, merci.

Je résouds l'équation et j'envoie ..

(-2+2a)/(1+a)²=0
équivaut à -2+2a=0
Donc a=1

Oui, il te suffit donc de remplacer a par 1 partout pour poursuivre l'exercice .
Evite quand même les mots vulgaires car si un modérateur lit ton post ...

Oui, Je suis vraiment désolée ..

Merci .. et une fois que j'ai remplacé par 1 dans f(x), je peux étudier les variations ?

Mais on n'a pas dit que a=0 .. ah oui mais là a=1 dans f(x) c'est ça ?

Donc f(x) = 2x / x²+1 ?!

Personnen'a dit que a valait 0 ( est-ce que tu ne ferais pas la confusion avec des notations du cours où "a" désigne
souventun coefficient directeur ? mais ce n'est pas le cas
ici) .

Puisque a vaut 1 , tu as f(x) = 2x / (x²+1) et f'(x) = ( -2x² +2) / (x²+1)²
Tu peux étudier les variations .

Ah oui là je confonds tout !! Oui c'est bon j'ai compris .. j'ai confondu les deux a ..

Oui d'accord bah j'ai compris maintenant .. MERCIIIII !!!!

OK
Ca ira pour les variations ?

Oui par contre pour les valeurs d'annulations y'a quoi ? =/

Tu parles des valeurs d'annulation pour f' ( elles sont indispensables ) ou pour f ( elles sont souhaitables ) ?

Ben pour f'(x) pour mettre dans le tableau quoi ..

Il y a 0 ? Et quoi d'autre ?

Non , f'(0) ≠ 0 : f'(0) = 2 ( sans intérêt)
f'(x) = ( -2x² +2) / (x²+1)²
pour quelles valeurs de x f' s'annule-t-elle ?

Sa ne s'annule pas ? Ou alors ça s'annule avec x=1 ?

Ca s'annule ou pas ?
Oui : f'(1) = 0 , mais ce n'est pas la seule possibilité

Sa s'annule pour x=1 ou x=-1

f(x) est décroissante sur ]-∞;-1[
f(x) est croissante sur ]-1;1[
f(x) est décroissant sur ]1;+∞[

Est-ça ?

Et f(-1)=-1
et f(1)=1 ??!

En espérant que tu n'as pas répondu au hasard ...
A partir de là , tu dois chercher le
signedu numérateur de f'(x) ( le dénominateur est toujours positif ) .

Non non je n'ai pas répondu au hasar, j'ai calculé :

f(-1) = 2*-1 / (-1)²+1 = -2 / 2 = -1
f(1)= 2*1 / 1²+1 = 2 / 2 = 1

Le numérateur est une équation du second degrés donc entre les valeurs d'annulation (entre -1 et 1) on a le signe de -a qui est ici + et entre ]-∞:-1[ et ]1;+∞[ c'est -

C'est bon ?

d'accord pour ton calcul , mais cela ne prouve pas qu'il n'y a pas d'autres valeurs d'annulation que 1 et -1
le numérateur est un "expression" ( pas une "équation" )
sinon , les résultats sont corrects .

Je reviens à la remarque 1) :
il ne suffit pas de "vérifier" que 1 et -1 annulent f'(x) : il faut résoudre l'équation
-2x²+2=0 , et pour cela il faut factoriser :
2(1-x²) = 0
2(1-x)(1+x) = 0
et on applique la règle du produit nul : cela prouve que les
seulesvaleurs d'annulation sont bien 1 et -1 .

Oui ça je l'ai fait, c'est comme ça que j'ai toruvé en résolvant l'équation ! Je l'ai fait avec delta ..

Merci beaucop pour votre aide !!