On se propose de résoudre le problème suivant: Comment fariquer une casserole cylindrique de volume donné v=1000cm³ avec le moins de métal possible, donc en réduisant le coût de la fabrication? (On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole)
On désigne par x le rayon du cercle du fond et par h la hauteur en cm. On note S l'aire totale S=aire latérale+aire du disque du fond.
1) Montrer que h=1000/πx² et que S=πx²+2000/x
2) Montrer que S'(x)= 2π(x-h)
3) Démontrer alors que la forme de casserole correspondant au coût de fabrication le plus bas est obtenue lorsque x=h, c'est à dire lorque le rayon de base est égal à la hauteur.
J'ai réussi à faire le 1) en partant du volume v=h*π*x² et je trouve bien 1000/πx²
J'ai aussi réussi S= πx²+2πxh et je trouve bien le résultat demandé.
Mais pour la 2) il faut dériver la fonction ? Seulement, je ne trouve pas le résultat demandé et je ne comprends pas la 3) Nous avons fait un exercice similaire en cours mais je n'arrive pas à l'appliquer ..
Bonjour ,
oui , il faut dériver par rapport à x , puis utiliser le fait que h = 1000/πx²
Mathtous
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Mais voyons ! tu n'as pas à dériver pi : c'est une constante comme 3 ou 17 , ou 2000 .
Montre-moi ton calcul de S'(x) .
Mathtous
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presque :
la dérivée de x² est 2x
la dérivée de ax² est 2ax , a étant une constante
la dérivée de πx² est donc 2πx : tu ne dérives pas pi , mais tu dois quand même en tenir compte .
Utilise maintenant le fait que h = 1000/πx²
Mathtous
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Pour la question suivante , il suffit d'étudier les variations de S(x) sur ]0 ; +∞[
car x est évidemment positif ( ainsi que h ) .
Mathtous
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quels intervalles ?
Dresse un tableau de variations dans la première ligne duquel tu placera h .
Puis précise sur quel intervalle ( contenu dans ]0;+∞[ ) (x-h) est positif et sur quel autre il est négatif .
J'ai ajouté un rectificatif : le domaine est ]0 ; +∞[ et pas [0 ; +∞[ : pourquoi ?
modifié par : mathtous, 18 Mar 2009 - 11:59
Mathtous
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Bah dans le tableau de varations, nous on a appris à mettre le signe de S'(x) et donc d'en déduire la variation de S(x)
Donc première ligne je mets S'(x) = 2π(x-h)
2π est toujours positif
(x-h) lui n'est pas toujours positif et c'est de cet intervalle là que je parlais ..
Et deuxième ligne, j'en déduis les variations de S(x).
( x-h) n'est pas toujours positif , bien sûr , mais il faut préciser :
sur quel intervalle (x-h) est-il positif ?
Sur quel intervalle (x-h) est-il négatif ?
tu dois répondre en donnant ces intervalles-là sous la forme ]? ; ??[
Mathtous
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La réponse que j'attendais était donc :
(x-h) est négatif sur l'intervalle ]0 ; h] , où S est donc décroissante
(x-h) est positf sur l'intervalle [h ; +∞[ , où S est donc croissante
1) que se passe-t-il pour x=h ?
2) tu n'as pas dit pourquoi 0 était une valeur "interdite"
Mathtous
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Je suis désolée mais je n'avais pas compris .. !
Je sais à quoi devait ressembler le tableau mais le h je ne savais pas qu'il fallait le mettre là .. c'est pour ça que je n'ai pas donné les intervalles ..
Merci pour l'aide
1) Pour x=h , bah ça fait 0 non ?
2) C'est une valeur interdite car S(x) = πx² + 2000/x Et on ne peut pas diviser par 0 !!
Exact pour la 2)
Mais pour la 1) : qu'est-ce qui vaut 0 ? S'(h) = 0 , oui , mais S(h) ≠ 0 , ce qui est d'ailleurs sans importance .
Le tableau de variations t'indique que pour x=h , la fontion S(x) admet un ???
Mathtous
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Donc , lorsque x=h , la surface totale , donc aussi le coût de fabrication est minimum : le plus bas possible .
Et cela répond à la question 3 .
Mathtous
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On ne te le demande pas . Puisque x=h , quelle importance de garder la lettre x ou de la remplacer par la lettre h .
Il suffit juste de savoir que le minimum correspond à la situation x=h .
Mathtous
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