Exercice sur le problème d'optimisation !

On se propose de résoudre le problème suivant: Comment fariquer une casserole cylindrique de volume donné v=1000cm³ avec le moins de métal possible, donc en réduisant le coût de la fabrication? (On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole)
On désigne par x le rayon du cercle du fond et par h la hauteur en cm. On note S l'aire totale S=aire latérale+aire du disque du fond.

Montrer que h=1000/πx² et que S=πx²+2000/x
Montrer que S'(x)= 2π(x-h)
Démontrer alors que la forme de casserole correspondant au coût de fabrication le plus bas est obtenue lorsque x=h, c'est à dire lorque le rayon de base est égal à la hauteur.

J'ai réussi à faire le 1) en partant du volume v=hπx² et je trouve bien 1000/πx²
J'ai aussi réussi S= πx²+2πxh et je trouve bien le résultat demandé.

Mais pour la 2) il faut dériver la fonction ? Seulement, je ne trouve pas le résultat demandé et je ne comprends pas la 3) Nous avons fait un exercice similaire en cours mais je n'arrive pas à l'appliquer ..

Merci à ceux qui pourront m'aider

Bonjour ,
oui , il faut dériver par rapport à x , puis utiliser le fait que h = 1000/πx²

Bonjour,

merci mais j'ai essayé et je n'y arrive pas car je ne connais pas la dérivée de Pi ..

Mais voyons ! tu n'as pas à dériver pi : c'est une
constantecomme 3 ou 17 , ou 2000 .
Montre-moi ton calcul de S'(x) .

Ah oui !
Bah j'ai fait :

S(x) = πx²+2000/x
Donc,
S'(x)= 2x - 2000/x²

Est-ce ça ?

presque :
la dérivée de x² est 2x
la dérivée de ax² est 2ax , a étant une
constante
la dérivée de πx² est donc 2πx : tu ne dérives pas pi , mais tu dois quand même en tenir compte .
Utilise maintenant le fait que h = 1000/πx²

D'accord, merci.
Mais où dois-je faire intervenir h puisque h=1000/πx²
Il faut mettre au même dénominateur ?
Car aprés il fait factoriser par 2π

S'(x) = 2πx - 2000/x² = 2πx - 2π*1000/(πx²) = 2πx - 2πh = 2π(x-h)

Pour la question suivante , il suffit d'étudier les variations de S(x) sur ]0 ; +∞[
car x est évidemment positif ( ainsi que h ) .

Mercii beaucoup !!!
Pour la qst suivante je me doutais que c'était une qst de variations mis je n'étais pas sure ..

(x-h) sera positif sur [0;+∞[ et négatif sur l'autre intervalle ?

quels intervalles ?
Dresse un tableau de variations dans la première ligne duquel tu placera h .
Puis précise sur quel intervalle ( contenu dans ]0;+∞[ ) (x-h) est positif et sur quel autre il est négatif .
J'ai ajouté un rectificatif : le domaine est ]0 ; +∞[ et pas [0 ; +∞[ : pourquoi ?

Bah dans le tableau de varations, nous on a appris à mettre le signe de S'(x) et donc d'en déduire la variation de S(x)
Donc première ligne je mets S'(x) = 2π(x-h)
2π est toujours positif
(x-h) lui n'est pas toujours positif et c'est de cet intervalle là que je parlais ..
Et deuxième ligne, j'en déduis les variations de S(x).

Bah parce que c'est la valeur interdite donc elle n'est pas comprise dans l'intervalle non ?

( x-h) n'est pas toujours positif , bien sûr , mais
il faut préciser:
sur quel intervalle (x-h) est-il positif ?
Sur quel intervalle (x-h) est-il négatif ?
tu dois répondre en donnant ces intervalles-là sous la forme ]? ; ??[

Oui ça je sais mais pour trouver les intervalles je peux remplacer h par sa valeur ?

Tu ne connais pas la "valeur" de h .
Ton tableau de variations doit ressembler à ceci :

x.......0.....................h..............................+∞
S'(x) ||....... - ...........0............ + ...............
S (x) || décroissante......croissante

La réponse que j'attendais était donc :
(x-h) est négatif sur l'intervalle ]0 ; h] , où S est donc décroissante
(x-h) est positf sur l'intervalle [h ; +∞[ , où S est donc croissante

que se passe-t-il pour x=h ?
tu n'as pas dit pourquoi 0 était une valeur "interdite"

Je suis désolée mais je n'avais pas compris .. !
Je sais à quoi devait ressembler le tableau mais le h je ne savais pas qu'il fallait le mettre là .. c'est pour ça que je n'ai pas donné les intervalles ..
Merci pour l'aide

Pour x=h , bah ça fait 0 non ?
C'est une valeur interdite car S(x) = πx² + 2000/x Et on ne peut pas diviser par 0 !!

Exact pour la 2)
Mais pour la 1) : qu'est-ce qui vaut 0 ? S'(h) = 0 , oui , mais S(h) ≠ 0 , ce qui est d'ailleurs sans importance .
Le tableau de variations t'indique que pour x=h , la fontion S(x) admet un ???

Le tableau de variations m'indique que pour x=h , la fontion S(x) admet un minimum.

Et c'est ce minimum qu'il me faut pour la valeur de x .. C'est ça ?

Donc , lorsque x=h , la surface totale , donc aussi le coût de fabrication est minimum : le plus bas possible .
Et cela répond à la question 3 .

Oui ! Et je dois donner une valeur pour x (ou h) bien sur ?

Titiiine05
Et c'est ce minimum qu'il me faut pour la valeur de x .. C'est ça ?On ne te le demande pas . Puisque x=h , quelle importance de garder la lettre x ou de la remplacer par la lettre h .
Il suffit juste de savoir que le minimum correspond à la situation x=h .

D'accord, je vous remercie énormément pour l'aide que vous m'avez apporté !
Merci pour votre patience !!