@tra-va , bonjour,
Ton énoncé est dur à lire...
J'espère avoir à peu près compris...
f(x)f(x)f(x)e^x-e^{-x}$
f′x)=ex+e−xf'x)=e^x+e^{-x}f′x)=ex+e−x
f′(x)>0f'(x) \gt 0f′(x)>0
Tableau de variation
(j'ai ajouté (0,0) en vu de la question relative à la suite).
En restreignant l'étude à [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[ , fff est définie dérivable et strictement croissante de [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[ vers [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[
fff est donc une bijection de [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[ vers [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[
Tout élément de [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[ (ensemble d'arrivée) a un antécédent unique dans [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[ (ensemble de départ.
En particulier, tout naturel nnn de l'ensemble d'arrivée a un antécédent unique UnU_nUn de l'ensemble de départ.
On peut ainsi définir une suite Un)U_n)Un) de termes positifs antécédents des valeurs nnn naturels de l'ensemble d'aarivée.
Le premier terme de cette suite pour n=0n=0n=0 est U0=0U_0=0U0=0