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Supérieur: Méthode de Horner pour factoriser les polynômes

 
Transmis par Admin,
le Vendredi 02 Septembre 2005 : 25803 lectures.
Math-Fiche

Merci à Jaoira
Pour montrer que le polynôme f(x) peut s'ecrire sous la forme (x-a)(x-b)g(x),
Pour trouver le polynome g(x) dans le cas ou a et b sont connues, sachez qu'il y a une methode tres rapide (paradoxalement peu utilisee), qui s'appelle le schema de Horner; voici le principe :
On donne f(x) = 4x^4-23x^2-15x-2, on donne les racines a = -2 et b = -1/2.
On commence d'abord par a = -2:
Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degre du polynome f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le reel a = -2 a la 2eme ligne, les autres cases restent vides. Dans la premiere ligne (a partir de la deuxieme colonne), on met les coefficients du polynome (un coefficient par colonne) en commencant par le plus haut degre et en mettant 0 si le degre correspondant n'est pas represente dans le polynome. Puis on met 0 a la ligne 2 et colonne 2. Dans notre cas ici, la tableau sera :
---------------------------------
|----| 4 | 0 | -23 | -15 | -2 |
---------------------------------
| -2 | 0 |
---------------------------------
|----|
---------------------------------
Remarquez le 0 de la ligne 1, colonne 3 (puisque dans f il n'y a pas de terme de degre 3).
Maintenant on va remplir le tableau en suivant la regle suivante :
On se place a colonne 2; on additionne les coefficients des lignes 1 et 2 et on met le resultat sur la meme colonne a la ligne 3, puis on multiplie ce resultat par la racine qui se trouve a la premiere colonne toute seule et on met le resultat a la ligne 2 de la colonne suivante et on se place a cette colonne. Puis on enchaine (addition - multiplication) jusqu'a la derniere colonne. Dans notre cas : on fait 4 + 0 = 4, on met 4 a la ligne 3 de la colonne 2,puis on calcule 4 * -2 = -8 et on met -8 a la ligne 2 de la colonne 3. On se place a la colonne 3. On calcule 0+(-8)=-8 qu'on met a la ligne 3 de la colonne 3, puis -8*-2=16 qu'on met a la ligne 2 de la colonne 4 et on se place a la colonne 4. On recommence : -23+16=-7 qu'on met a la ligne 3 de la colonne 4, puis -7*-2=14, qu'on met ligne 2, colonne 5, et on se place a la colonne 5. -15+14 = -1 qu'on met a la ligne 3, colonne 5,puis -1*-2=2 qu'on met ligne 2, colonne 6. La, c'est la derniere colonne et on s'arrete. Maintenant on fait le bilan des courses :
1. Si on n'a pas d'erreurs de calcul, les reels qu'on obtient a la derniere colonne (donc aux lignes 1 et 2) doivent etre opposes.
2. La 3eme ligne du tableau donne les coefficients du polynome quotient de la division de f(x) par (x-a), ce polynome etant bien sur de degre (n-1), n etant le degre de f. Dans notre cas ici, on obtient donc :
f(x) = (x+2)(4x^3-8x^2-7x-1).
Maintenant il faut faire la meme chose avec 4x^3-8x^2-7x-1 et la racine b = -1/2.

L'explication est peut-être verbeuse mais des que la technique est comprise, la methode est nettement plus rapide que la methode d'identification des coefficients. Et surtout, comme je l'ai souligne le schema de Horner aide pour detecter des erreurs de calcul eventuels, ce qui n'est pas le cas de l'autre methode.....
J'espere que c'est clair comme explication, et que plein de gens vont utiliser Horner....

Note : Extrait du Math-forum.
Jaoira a complété cet exemple d'un cours sur la méthode de Horner en PDF.

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