Là je vois vraiment pas comment démontrer pour les autres valeurs de n :s
tibo42
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RE: Démonstration d'une propriété par récurrenceT
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RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Ah oui j'ai mis le 3 de l'exemple de mon cours ... ( impossible de savoir toutes ces phrases par cœur )
Je continue :
Donc 7p+17^{p+1}7p+1 +1 =(6m-1)*7+1=42m-7+1=42m-6=6(7m-1)
Or m est un entier, alors 7m-1 est aussi un entier. Donc 7p+17^{p+1}7p+1 +1 = 6k est divisible par 6.
Donc Q'(n) est héréditaire.Q'(n) est héréditaire mais n'est pas initialisé donc Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n ?
C'est juste ?
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RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Hérédité
On suppose qu'il existe un entier P tel que Pp soit vrai, et, sous cette hypothèse de récurrence, on démontre que Pp+1 est alors vrai. C'est à dire qu'on suppose qu'il existe un rang p tel que 7p7^p7p +1 soit divisible par 6, et, sous cette hypothèse de récurrence, on montre que 7p+17^{p+1}7p+1 +1 est alors divisible par 6.
On suppose donc qu'il existe un entier naturel m tel que 7p+17^{p+1}7p+1 +1=6m, et, sous cette hypothèse de récurrence, on veut prouver qu'il existe un entier naturel k tel que 7p+17^{p+1}7p+1+1= 6k
Or, 7p+17^{p+1}7p+1 +1= 7p*7+1 et comme on a 7p7^p7p +1=6m, on obtient 7p7^p7p = 3m -1
Donc 7p+17^{p+1}7p+1 +1 =(3m-1)*7+1=21m-7+1=21m-6=6( et là ça marche pas car 21 n'est pas un multiple de 6 ...
Faut il dire donc Q'(n) n'est pas héréditaire donc Q'(n) n'est vérifiée pour aucune valeur de n ?T -
RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Je croyais que l'on avais pas le droit de montrer que c'est héréditaire tant que l'on a pas trouvé un "n" pour initialiser
J'vais rédiger les points de suspensions
T -
RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Oui Q'(n).
Initialisation
Pour n=0 , Q'(n) = 1 qui est un multiple de 6 donc Q'(n) est initialisé au rang 0.Hérédité
...
...
Donc Q'(n) est héréditaire.Mais après que dois-je dire pour que Q'(n) ne soit vérifié pour aucune valeur de n?
Car je viens de dire que Q'(n) est initialisé et héréditaire donc Q'(n) est vraie pour tout entier N supérieur ou égal à 0 ...T -
RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
D'accord j'ai juste à dire pour la 2)b) : D'après la question 1, Q(n) est héréditaire et initialisé au rang 1, donc Pn est divisible par 6 pour tout entier n non nul.
Pour Q', qu'apellez vous l'amorce ?
Moi j'aurai fait ceci :
3)a) Q'(1) = 7n7^n7n +1=8 qui n'est pas un multiple de 6 donc Q(1) est fausse.
b)
Soit Pn la proposition 7n7^n7n +1 est divisible par 6
Or d'après la question 3)a), Q'(1) est fausse donc la proposition Pn ne peut pas être initialisé au rang 1, donc Pn n'est pas héréditaire.
Ainsi, Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n.Mais je suis pas sûr d'avoir le droit de dire ça ...
T -
RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Ah oui merci j'avais pas compris les 2 propositions.
Je vous montre ce que je pense faire :Soit Pn la proposition "7n7^n7n-1 est divisible par 6"
Initialisation
Pour n=1, on a, 717^171 -1 = 6 qui est divisible par 6
Donc la proposition Pn est initialisé au rang 1.Hérédité
On suppose qu'il existe un entier P tel que Pp soit vrai, et, sous cette hypothèse de récurrence, on démontre que Pp+1 est alors vrai. C'est à dire qu'on suppose qu'il existe un rang p tel que 7p7^p7p -1 soit divisible par 6, et, sous cette hypothèse de récurrence, on montre que 7p+17^{p+1}7p+1 -1 est alors divisible par 6.
On suppose donc qu'il existe un entier naturel m tel que 7p+17^{p+1}7p+1 -1=6m, et, sous cette hypothèse de récurrence, on veut prouver qu'il existe un entier naturel k tel que 7p+17^{p+1}7p+1 -1= 6k
Or, 7p+17^{p+1}7p+1 -1 = 7p7^p7p × 7-1 et comme on a 7p7^p7p -1=6m, on obtient 7p7^p7p =6m+1
Donc 7p+17^{p+1}7p+1 -1 = (6m+1)*7-1=42m+7-1=42m+6=6(7m+1).
Or m est un entier, alors 7m+1 est aussi un entier. Donc 7p+17^{p+1}7p+1 -1=6k avec k=7m+1 est un entier. Donc 7p+17^{p+1}7p+1 -1 est divisible par 6.
Donc Pn est héréditaire.Conclusion
Comme Pn est initialisé au rang 1 et héréditaire, Pn est vrai pour tout entier n non nul.
Donc pour tout entier naturel n non nul, Pn est divisible par 6.2)a)
Q(1) 717^171 -1=6 qui est divisible par 6 donc Q(1) est vraie.
b) Là je bloque, j'ai l'impression d'avoir déjà répondu à cette question dans la question 1) ...T -
RE: Démonstration d'une propriété par récurrence
Q(1) = 6÷(7-1)=6 Donc Q(1) est vrai.
Mais ça c'est la question 2)a). Je vois pas ce qu'il faut faire pour la 1)T -
Démonstration d'une propriété par récurrence
Bonjour à tous, j'ai un exercice sur lequel je bloque complètement, je suis pas sur de bien le comprendre.
Voici l'énoncé.On considère les 2 propositions Q(n) : "6 divise 7(puissance n) -1" et Q'(n) : "6 divise 7(puissance n) +1"
- Démontrer que si les propositions ci dessus sont vraies pour un entier naturel p, non nul, alors elles sont vraies pour l'entier p+1.
a) Q(1) est-elle vraie?
b) Déduire des questions précédents que Q(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.
3)
a) Que dire de Q'(1) ?
b) En utilisant le résultat de la question 2), prouver que Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n.Voila j'aimerai bien un petit coup de pouce Merci
T