Bonjour,
je souhaite montrer cette formule: ∀n,∈,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}}∀n,∈,n ,$\quad \setminus \left{ 0,1 \right}$ : ∑k=2nk−1(k+1)(k−1)=14−12n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }∑k=2n(k+1)(k−1)k−1=41−2n(n+1)1
j 'ai proposé une récurrence sur n qui a aboutie cependant les calculs m'ont semblé interminable .Avez vous une autre idée ou autre proposition pour faire plus simple?
voici la récurrence
1)initialisation, pour n=2n =2n=2
123=14−13.4=16\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3.4 } =\frac { 1 }{ 6 }321=41−3.41=61
donc vraie pour n=2
- hérédité , supposons la formule vraie ∀n,∈,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}}∀n,∈,n
donc
∑k=2n+1k−1(k+1)(k−1)=(∑k=2nk−1(k+1)(k−1))+1n(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\left( \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } \right) +\frac { 1 }{ n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }∑k=2n+1(k+1)(k−1)k−1=(∑k=2n(k+1)(k−1)k−1)+n(n+2)(n+1)1
...
n(n+2)(n+1)4n(n+2)(n+1)+44n(n+2)(n+1)−2(n+2)2n(n+1)=n3+3n24n(n+2)(n+1)=n2+3n4(n+2)(n+1)\frac { n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } +\frac { 4 }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } -\frac { 2\left( n+2 \right) }{ 2n\left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }4n(n+2)(n+1)n(n+2)(n+1)+4n(n+2)(n+1)4−2n(n+1)2(n+2)=4n(n+2)(n+1)n3+3n2=4(n+2)(n+1)n2+3n
sachant que:∑k=2nk−1(k+1)(k−1)=14−12n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }∑k=2n(k+1)(k−1)k−1=41−2n(n+1)1
mais aussi: =n2+n−24n(n+1)=\frac { { n }^{ 2 }+n-2 }{ 4n\left( n+1 \right) }=4n(n+1)n2+n−2 ( la solution apparaît seulement après transformation de la fraction au dessus )
donc
∑k=2n+1k−1(k+1)(k−1)=(n+1)2+(n+1)−24(n+1)(n+2)=n2+3n4(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { { \left( n+1 \right) }^{ 2 }+\left( n+1 \right) -2 }{ 4\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }∑k=2n+1(k+1)(k−1)k−1=4(n+1)(n+2)(n+1)2+(n+1)−2=4(n+2)(n+1)n2+3n
la formule est vraie pour n+1 ce qui montre que cette formule est bonne!
merci mtschoon