{>} (un) est la suite définie par U0=1/2 et pour tout entier naturel n:{}
{>} Un+1=-1/3Un²+2Un{}
{>} 1)cacluler U1 U2 U3 U4 U5{}
voici les premiers termes
u1=0,91666667
u2=1,55324074
u3=2,30229588
u4=2,83773632
u5=2,9912235
u6=2,99997432
u7=3
ça sent la convergence vers 3
2)On note f la fonction définie sur R par :
{>} f(x)=-1/3x²+2x{}
{>} a)etudiez les variations de f et dressez le tableau de variations{}
{>} b)demontrez que si x apartient a l'intervalle [0;3], alors f(x) apartient à l'internalle [0;3]{}
on voit que si on prend x entre 0 et 3, f(x) sera entre 0 et 3: f(0)=0 et f(3)=3 et f(x) monotone croissante entre 0 et 3.
3)déduiser de la question précedente que /
{>} a)la suite (Un) est majorée par 3{}
donc si U0=1/2 les Un suivants seront entre zéro et 3
on aurait aussi pu faire Un+1 -3=-1/3Un²+2Un-3=-1/3(Un-3)² négatif
b)la suite (Un) est croissante
on calcule Un+1-Un
à vous
4)déduisez en que la suite (Un) convergente et trouvez sa limite en remarquant que Un+1=f(Un)
{>} justifiez votre reponse{}
une suite majorée et croissante est convergente
elle converge vers l telle que
l=-1/3l²+2l
0=1/3*l(-l+3)
l=3 (l=0 est à exclure car on part de 1/2 et la suite croît)
pour la premiére question jai trouver U1=11/12 U2=671/432 ....
{>} de plus f'(x) =-2/3x+2{}
EST CE BON ??????