DCI est un triangle équilatéral.
Dans le repère orthonormé (D;C;A) on a : DC=1 et DI=1
Soit H le pied de la hauteur du triangle DCI issue de I
et K le pied de la hauteur du triangle DIA issue de I
cos IDC=DH/DI=DH car DI=1
donc : DH=cos60°=1/2 (Tous les angles d'un triangle équilatéral sont égaux et mesurent 60°))
De même sinIDC=HI/DI=HI car DI=1
donc HI=sin60°=√3/2
Or HI=DK donc DK=√3/2
Ainsi I (1/2 ; √3/2)
Le triangle (LBC) est équilatéral, et LB=LC=CB=1
Soit H' la projection orthogonale de L sur la droite (DC)
et K' la projection orthogonale de L sur la droite (BC)
L'angle LCH' mesure 30° (90°-60°)
cos LCH'=CH'/CL=CH' car CL=1
donc CH'=cos LCH'=cos 30°=sin 60°=√3/2 (angles complémentaires)
DH' = DC+CH' = 1+√3/2 = (2+√3)/2
sin LCH' = H'L/CL = H'L car CL=1
donc LH' = sin 30° = cos 60° = 1/2
Ainsi L ((2+√3)/2 ; 1/2)
Soit (d) la droite passant par les points A (0 ; 1) et I (1/2 ; √3/2)
(d) a pour équation y = ax + b
Calculons a et b en exprimant le fait que A ∈ (d) et I ∈ (d)
On trouve d'une part : 1 = a.0 + b et d'autre part : √3/2 = a/2 + 1
Finalement : b = 1 et a = √3 - 2 et (d) : y = (√3 - 2)x + 1
Il suffit de vérifier que l'on a bien L ((2+√3)/2 ; 1/2) ∈ (d)
Les points A, I et L sont bien alignés.
Le but de cet exercice est de montrer que quelque soit la longueur du côté du carré ABCD, quand on se place dans le repère orthonormé (D;C;A), cette longueur n'a plus de sens puisqu'elle vaut toujours 1 dans ce repère.
Et l'on peut démontrer que les points A, I et L sont toujours alignés.