Change de notation pour simplifier la résolution du problème.
Appelle a,b,c les longueurs des côtés du triangle rectangle (où c est l'hypoténuse).
Appelle hah_aha la hauteur du triangle dont la base mesure a,
hbh_bhb la hauteur du triangle dont la base mesure b,
et hch_chc la hauteur du triangle dont la base mesure c.
Le problème peut donc s'exprimer sous forme algébrique de la manière suivante:
1/ La somme des aires des 3 "petits" triangles est égale à l'aire du triangle rectangle de départ (le lac) :
0,5×a×hah_aha
+0,5×b×hbh_bhb
+0,5×c×hch_chc
0,5×a×b
2/ L'aire de chaque champ est proportionnelle à l'aire du morceau de lac de chacun:
0,5×a×hah_aha = k × a²
et
0,5×b×hbh_bhb = k × b²
et
0,5×c×hch_chc = k × c²
A partir de ce système d'équations, il est assez simple algébriquement de trouver hah_aha et hbh_bhb.
Le point M peut alors se définir par le vecteur AM = hah_aha × AB + hbh_bhb × AC
où A,B,C sont les sommets du triangle de l'énoncé.